Disequazioni: frac(x + 1)(x - 3) - frac(x - 2)(6 + 2x) ≤ frac(x)(2x^2 - 18)

Risoluzione di una disequazione di secondo grado fratta, studio del segno del numeratore e del denominatore

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Determina le soluzioni della seguente disequazione di secondo grado:

[math] frac(x + 1)(x - 3) - frac(x - 2)(6 + 2x) ≤ frac(x)(2x^2 - 18) [/math]

Svolgimento

Portiamo tutti i termini al primo membro, poi effettuiamo le scomposizioni necessarie ai denominatori:

[math] frac(x + 1)(x - 3) - frac(x - 2)(6 + 2x) - frac(x)(2x^2 - 18) ≤ 0[/math]

[math] frac(x + 1)(x - 3) - frac(x - 2)( 2 (3 + x)) - frac(x)(2 (x^2 - 9)) ≤ 0[/math]

[math] frac(x + 1)(x - 3) - frac(x - 2)( 2 (3 + x)) - frac(x)(2 (x- 3)(x + 3)) ≤ 0[/math]

Calcoliamo il minimo comune multiplo:

[math] frac( 2 (x + 3)(x + 1) - (x - 2)(x - 3) - x)(2 (x - 3) (x + 3)) ≤ 0[/math]

[math] frac( 2 (x^2 + 3x + x + 3) - (x^2 - 3x - 2x + 6) - x)(2 (x - 3) (x + 3)) ≤ 0[/math]

[math] frac( 2x^2 + 6x + 2x + 6 - x^2 + 3x + 2x - 6 - x)(2 (x - 3) (x + 3)) ≤ 0[/math]

[math] frac( x^2 + 12x )(2 (x - 3) (x + 3)) ≤ 0[/math]

[math] N ≥ 0 \to x^2 + 12x ≥ 0 [/math]

Passiamo all'equazione associata:

[math] x^2 + 12x = 0 [/math]

[math] x ( x + 12) = 0 [/math]

Troviamo le soluzioni con la legge dell'annullamento del prodotto:

[math] x + 12 = 0 \to x = - 12[/math]

[math] x = 0 [/math]

Poiché la disequazione è maggiore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radice dell'equazione associata:

[math] S : x ≤ - 12 ∨ x ≥ 0 [/math]

[math] D > 0 \to (x - 3) (x + 3) > 0[/math]

Passiamo all'equazione associata:

[math] (x - 3) (x + 3) = 0[/math]

Troviamo le soluzioni con la legge dell'annullamento del prodotto:

[math] x + 3 = 0 \to x = - 3[/math]

[math] x - 3 = 0 \to x = 3[/math]

Ricordiamo che

[math] (x - 3) (x + 3) = x^2 - 9 [/math]

, ed è quindi un polinomio di secondo grado;

quindi, poiché la disequazione è maggiore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radice dell'equazione associata:

[math] S : x > - 3 ∨ x > 3 [/math]

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore:

studio_del_segno

Dato che la disequazione di partenza è minore o uguale a zero, secondo la regola dei segni, avremo come soluzioni

[math] S : - 12 ≤ x > - 3 ∨ 0 ≤ x > 3 [/math]

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