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Equazioni letterali di primo grado con discussione

In questo appunto parleremo delle equazioni letterali, ovvero quelle a due incognite da risolvere mediante un ragionamento. Parleremo sia di quelle intere che di quelle fratte. Iniziamo da quelle intere.
Iniziamo a prendere come esempio:
[math]a^2x+1 = a(x+1)[/math]
.
1° passo Riconduciamo l'equazione alla forma Ax = B e scomponiamo A e B.
[math]a^2x+1 = a(x+1)[/math]
equazione data
[math]a^2x+1 = ax-a[/math]
svolgendo la moltiplicazione al 2° membro
[math]a^2x-ax=a-1[/math]
trasportando al 1° membro i termini con la x e al 2° quelli senza
[math](a^2-a)x = a-1[/math]
raccogliendo x: il raccoglimento di x è essenziale per svolgere i passaggi successivi
[math]a(a-1)x = a-1[/math]
scomponendo in fattori il coefficiente di x
2° passo Risolviamo e discutiamo l'equazione ottenuta.
    Il coefficiente di x, per la legge di annullamento del prodotto, è diverso da zero se
    [math]a \ne 0 \land a \ne 1[/math]
    . Se è verificata questa condizione possiamo, in base al 2°principio di equivalenza, dividere entrambi i membri dell'equazione per a(a-1); otteniamo così la soluzione:
    [math]x=\frac{a-1}{a (a-1)} = \frac{1}{a}[/math]
Analizziamo ora che cosa accade nei casi esclusi, cioè se a=0 o a=1.
    Se a=0, l'equazione a(a-1)x = a-1 diventa
    [math]0\cdot (0-1)x = 0-1[/math]
    , ovvero 0x=-1, che è impossibile.
    Se a=1, l'equazione a(a-1)x = a-1 diventa
    [math]1\cdot (1-1)x = 1-1[/math]
    , ovvero 0x = 0, che è indeterminata.
3° passo Riassumiamo i risultato della discussione.
[math]a\ne 0 \land a\ne 1 \Rightarrow equazione\ determinata\ per\ x=\frac{1}{a}[/math]
.
[math]a\ne0 \Rightarrow equazione\ impossibile[/math]
.
[math]a\ne 1 \Rightarrow equazione\ indeterminata[/math]
.
.
Ora passiamo a valutare un'equazione fratta:
[math]\frac{x}{ax-a}+\frac{x}{x-1}=-\frac{1}{a}[/math]
.
1° passo Poniamo le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche che compaiono nell'equazione.
Riscriviamo anzitutto l'equazione scomponendo i denominatori al primo membro:
[math]\frac{x}{a(x-1)}+\frac{x}{x-1}=-\frac{1}{a}[/math]
.
Deve essere
[math]a\ne 0 \land x-1\ne 0 \Rightarrow a\ne 0 \land x\ne 1[/math]
.
Nota che:
    La condizione a =/ (disuguale) 0 è sul parametro: essa si può commentare subito dicendo che per a=0 l'equazione perde significato.
    La condizione x =/ invece è sull'incognita, quindi andrà ripresa dopo aver risolto l'equazione per discutere l'accettabilità delle soluzioni.
2° passo Riconduciamo l'equazione a una equazione intera, che risolviamo e discutiamo.
[math]\frac{x}{a(x-1)}+\frac{x}{x-1}=-\frac{1}{a}[/math]
il mcm dei denominatori è a(x-1)
[math]x+ax = -x+1[/math]
.
[math]2x+ax = 1[/math]
.
[math](a+2)x = 1[/math]
.
Se
[math]a\ne 2[/math]
, dividendo entrambi i membri per (a+2) otteniamo:
[math]x=\frac{1}{a+2}[/math]
.
Se a = -2, l'equazione diviene 0x = 1, che è impossibile.
3° passo Confrontiamo la soluzione con la condizione posta sull'incognita.
La soluzione trovata è accettabile se
[math]x\ne 1[/math]
. Per quali valori di a è soddisfatta questa condizione?
[math]\frac{1}{a+2}\ne 1 \rightarrow a+2\ne 1 \rightarrow a\ne -1[/math]
.
Se a = -1, la soluzione trovata non è soluzione dell'equazione originaria, quindi l'equazione è impossibile.
4° passo Riassumiamo i risultato ottenuti.
[math]a=0 \rightarrow l'equazione\ perde\ significato[/math]
.
[math]a=-2 \lor a=-1 \rightarrow equazione\ impossibile[/math]
.
[math]a\ne -2 \land a\ne -1 \land a\ne 0 \rightarrow equazione\ determinata\ con\ soluzione: \frac{1}{a+2}[/math]
.
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