EQUAZIONI NON ELEMENTARI
Oggi parleremo delle equazioni non elementari. Per i polinomi di terzo grado, l'italiano Scipione del Ferro, trovò una ricetta aritmetica, che adeguatamente completata da Tartaglia ed elaborata dagli algebristi che vennero dopo, ci conduce alla "semplice" espressione
[math]x_{1}=-\frac{b}{3a}-\\
\\
-\frac{1}{3a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d+\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}}\\
\\
-\frac{1}{3a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d-\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}}[/math]
\\
-\frac{1}{3a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d+\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}}\\
\\
-\frac{1}{3a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d-\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}}[/math]
[math]x_{2}=-\frac{b}{3a}+\\
\\
+\frac{1+i \sqrt{3}}{6a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d+\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}}\\
\\
+\frac{1+i \sqrt{3}}{6a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d-\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}}[/math]
\\
+\frac{1+i \sqrt{3}}{6a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d+\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}}\\
\\
+\frac{1+i \sqrt{3}}{6a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d-\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}}[/math]
[math]x_{3}=-\frac{b}{3a}+\\
\\
+\frac{1-i \sqrt{3}}{6a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d+\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}}\\
\\
+\frac{1+i \sqrt{3}}{6a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d-\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}}[/math]
\\
+\frac{1-i \sqrt{3}}{6a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d+\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}}\\
\\
+\frac{1+i \sqrt{3}}{6a} \sqrt[3]{\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d-\sqrt{(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}{2}}[/math]
per le tre radici di
[math]P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d[/math]
, e questo dimostra un impegno fuori dal comune. Naturalmente, Del Ferro non scrisse la formula proprio così (in alcuni termini compare il simbolo [math]i[/math]
, che si riferisce all'unità immaginaria dei numeri complessi, che pure erano molto lontano dall'universo culturale di Del Ferro) ma usò un'espressione più elementare, e limitata ad un'equazione di terzo grado di una forma particolare, che però è facile da tradurre in linguaggio generale e moderno.L'impresa di Del Ferro impallidisce davanti alla formula per la soluzione dell'equazione di quarto grado:
[math]ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0[/math]
La ricetta aritmetica per trovare le quattro possibili soluzioni è davvero complessa, per non dire mostruosa, per quanto si utilizza il linguaggio moderno; quello che fece Ferrari, in linguaggio moderno, fu sostituire le incognite, introducendo
[math]X=\frac{x+b}{4a}[/math]
ed eliminando così il termine di terzo grado.
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