Divisioni a due cifre: descrizione e regole

Questo appunto riguarda la divisione a due cifre. Chiariamo subito che, quando si parla di divisione a due cifre, ciò che deve avere due cifre è il divisore, e non il dividendo. Per esempio, la divisione 178:14 è una divisione, mentre la divisione 78:4 è una divisione ad una sola cifra. Attraverso alcuni esercizi di difficoltà crescente, cercheremo di rendere semplice un argomento sempre molto insidioso per gli studenti di tutte le età.

L’algoritmo della divisione in colonna

In questo paragrafo descriveremo tutti i passaggi dell’algoritmo che serve seguire per svolgere nel modo corretto una divisione in colonna.

Algoritmo è una parola di origine araba con un significato molto semplice: algoritmo vuol dire procedimento, procedura.

Fare una divisione a due cifre può sembrare un’impresa difficile ma, come tutte le imprese, è fatta di tanti piccoli passi. Questi passi, messi insieme, costituiranno il nostro algoritmo, una sorta di scaletta da seguire per essere sicuri di arrivare in fondo ad una divisione a due cifre in maniera corretta.

Eccoli:

1. 1° passo: scrivere correttamente in colonna dividendo e divisore. Avrai sicuramente in mente lo schema per una divisione in colonna: è importante che il dividendo e il divisore siano scritti uno accanto all’altro e siano separati da una linea verticale. Sotto al divisore va tracciata una breve linea orizzontale: sarà quello il posto in cui si comporrà il risultato, cioè il quoziente della nostra divisione.
2. 2° passo: abbassare le prime due o le prime tre cifre del dividendo. Non c’è un numero fisso di cifre del dividendo da abbassare, inizialmente. Bisogna osservare il dividendo, procedere da sinistra e destra e selezionare il numero di cifre necessario per superare il divisore. Per esempio, se devo risolvere la divisione 374:11 mi basterà abbassare solo le prime due cifre, il 3 ed il 7, perché il numero che esse compongono, 37, è maggiore di 11. Viceversa, se devo svolgere la divisione 1456:36 non mi basterà abbassare solo le prime due cifre, 1 e 4, perché 14 è ancora minore di 36. Dovrò abbassare anche il 5, ottenendo così il numero 145, che è più grande di 36.
3. 3° passo: calcolare quante volte il divisore è contenuto nel numero che si è formato abbassando le prime cifre del dividendo. Questo è il primo passaggio delicato: bisogna avere un po’ di familiarità con le moltiplicazioni per rispondere alla domanda: quante volte il divisore entra, oppure sta, nel numero che ho abbassato? Immaginiamo di dover risolvere la divisione 546:16. Abbasso le prime due cifre ed ottengo il numero 54. Mi chiederò, quindi: quante volte il 16 è contenuto nel 54? Lavorando con le moltiplicazioni, osservo che 16 moltiplicato per 3 fa 48, mentre 16 moltiplicato per 4 fa 64. 64 è maggiore di 54, per cui concluderò che il 16 è contenuto nel 54 tre volte, e 3 sarà la prima cifra del quoziente della divisione.
4. 4° passo: calcolare il primo resto intermedio. Nel passaggio precedente abbiamo calcolato quante volte il divisore è contenuto nelle prime cifre del dividendo. Svolgendo questo calcolo, in alcuni casi potremmo trovarci davanti un risultato esatto, senza resto. Più frequentemente, invece, avremmo un resto. Chiariamo subito i termini della questione facendo due esempi. Nel primo caso, effettuiamo la divisione 546:18. Abbassiamo le prime due cifre del dividendo e poi chiediamoci: quante volte il 18 sta nel 54? Il risultato è 3, che scriveremo nello spazio dedicato, sotto al 18. Dopodiché effettuiamo la moltiplicazione 18 x 3 = 54, andiamo a scrivere 54 sotto alle prime due cifre del dividendo e poi eseguiamo la sottrazione: 54-54=0. Zero sarà dunque il nostro resto parziale.
Ipotizziamo, invece, di dover calcolare 648:13. In questo caso il 13 starà 4 volte nel 64. Calcoliamo 13x4=52, scriviamo 52 sotto al 64 e operiamo la sottrazione 64-52, il cui risultato è 12, che scriviamo sotto.

5. 5° passo: iterare il procedimento abbassando una nuova cifra. Una volta calcolato il resto parziale, abbassiamo una nuova cifra del dividendo, che andremo a scrivere accanto al resto parziale calcolato al passo precedente. Otteniamo, così facendo, un nuovo dividendo, che andiamo a dividere sempre per lo stesso divisore, ripetendo tutti i passi visti fino a questo momento. Può capitare che, abbassando una sola cifra non si arrivi a superare il divisore: in questi casi sarà opportuno anche abbassare una ulteriore cifra. Si procede così fino all’esaurimento delle cifre del dividendo. Avremo così ottenuto il quoziente ed il resto della divisione di partenza.

Per ulteriori approfondimenti sulle divisioni in colonna, vedi anche qua.

Un esempio di divisione a due cifre

In questo paragrafo vedremo lo svolgimento passo per passo di una divisione a due cifre, seguendo gli step dell'algoritmo appena spiegato.

Mostriamo lo svolgimento di una divisione a due cifre, 2045:16.

Proviamo a risolverla seguendo i punti dell’algoritmo:

1. Scriviamo correttamente in colonna il dividendo ed il divisore, separati da una linea verticale;
2. Valutiamo quante cifre del dividendo occorre abbassare. Abbassandone due, otteniamo 20, che è maggiore di 16, quindi va bene;
3. Ci chiediamo: quante volte è contenuto il 16 nel 20? Il risultato è una sola volta, per cui scriviamo 1 nello spazio sotto al divisore. Sarà la prima cifra del quoziente;
4. Moltiplichiamo 16 per 1 e otteniamo 16, che scriviamo sotto al 20 presente al dividendo. Facciamo la sottrazione: 20-16 e otteniamo 4, il primo resto parziale;
5. Abbassiamo una nuova cifra del dividendo, il 4 che scriviamo accanto al primo resto parziale. Otteniamo il numero 44. Quante volte il 16 sta nel 44? Due volte. Il 2 è la seconda cifra del nostro quoziente. Calcoliamo 2 per 16 e otteniamo 32. Per ottenere il secondo resto parziale calcoliamo 44-32 e otteniamo 12. A questo punto abbassiamo il 5, l’ultima cifra del dividendo, e otteniamo 125. Il 16 nel 125 ci sta 7 volte: 7 è l’ultima cifra del quoziente, che diventerà quindi 127. 16 moltiplicato per 7 fa 112. Sottraendo 112 a 125 si ottiene 13, che costituisce il resto della divisione.

Per ulteriori approfondimenti sulle divisioni in particolare quelle con la virgola vedi anche qua