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Disequazioni di secondo grado - regola generale





Qui sopra si può vedere la tabella generale per la risoluzione di una qualsiasi disequazione di secondo grado, ovvero una disequazione con l'incognita di grado massimo 2.
Questa tabella è derivata dalle soluzioni grafiche con le parabole.
Infatti se si costruissero delle parabole per ognuno di questi casi si noterebbe che le soluzioni sono coincidenti con quelle della tabella. Naturalmente lo studio della tabella significa lavoro in meno ma capisco possa essere difficoltosa la memorizzazione di ciascun caso. Per quanto riguarda i casi con il delta positivo e quelli con il delta negativo possiamo ricorrere ad una semplificazione della regola. Per quanto riguarda i casi col delta uguale a zero consiglio sempre la costruzione della parabola.

Delta positivo


Quando il delta è positivo (>0) vale la regola del PE;NI ovvero Positivo Esterni;Negativo Interni. Infatti una disequazione con 2 soluzioni maggiore di zero ha come risoluzione i valori esterni alle 2 soluzioni (estremi esclusi nel caso del maggiore ed estremi inclusi nel caso del maggiore uguale). Viceversa, una disequazione con 2 soluzioni minore di zero ha come risoluzione l'intervallo di valori interni alle 2 soluzioni (sempre estremi esclusi nel caso del minore ed inclusi nel caso del minore uguale).
Facciamo un paio di esempi di disequazioni lineari:

I° :
[math]x^2 -3x \le 0[/math]
.
Effettuiamo un raccoglimento totale della x e risolviamo l'equazione associata:
[math]x(x-3) = 0 \\
LAP: x= 0 \lor x = 3[/math]
.
Noto due soluzioni per cui l'equazione associata vale zero. Dunque so per certo che il discriminante è positivo. Ricorro alla legge del NI:
[math]S: 0 \le x \le 3[/math]
.

II° :
[math]x^2 \le (2x+1)^2[/math]
.
Porto in forma normale:
[math]x^2 \le 4x^2+1+4x \\
-3x^2-4x-1 \le 0[/math]
.
Cambio segni e cambio verso:
[math]3x^2+4x+1 \ge 0[/math]
.
Risolvo con la legge generale per la risoluzione delle equazioni di secondo grado per trovare gli zeri:
[math]x = \frac{-2 \pm \sqrt{1}}{3} = \begin{cases} -1 \\ - \frac{1}{3} \end{cases}[/math]
.
Ora sfrutto la regola del PE:
[math]S: x\le -1 \lor x \ge - \frac{1}{3}[/math]
.

Delta negativo


Quando invece il delta è negativo tutto è più facile. Proviamo ad immaginarci una parabola quando il delta è negativo: tutto il grafico si trova nel primo quadrante senza intersezioni con l'asse x. Perciò le soluzioni possono essere o tutte o nessuna. Generalizzando e specificando allo stesso tempo otteniamo che PT;NN ovvero Positivo Tutte;Negativo Nessuna.
Facciamo pure qui un paio d'esempi applicativi:

I° :
[math]x^2-6x+10 .
Utilizzo la formula risolutiva ridotta (poichè b è pari) per trovare gli zeri:
[math]x = 3 \pm \sqrt{-1} \Rightarrow IMP.[/math]
.
Utilizzo la regola del NN:
[math]S: \not\exists x \in \mathbb{R}[/math]
.

II° :
[math]x^2-2x+2 > 0[/math]
.
Utilizzo la formula risolutiva ridotta (poichè b è pari) per trovare gli zeri:
[math]x = 1 \pm \sqrt{-1} \Rightarrow IMP.[/math]
.
Utilizzo la regola del PT:
[math]S: \forall x \in \mathbb{R}[/math]
.

PS: Lascio in allegato il file pdf con la tabella per chiunque volesse salvarsi/stamparsi la tabella.