Come risolvere le disequazioni di secondo grado in modo corretto

In quest'appunto sono presentate delle strategie per risolvere le disequazioni di primo e secondo grado aventi varie tipologie di discriminanti. Inoltre, è presente un elenco delle soluzioni generalizzate.

Cosa sono le equazioni e le disequazioni

In matematica, equazioni e disequazioni sono un concetto molto importante. Esse non sono altro che uguaglianze (o disuguaglianze) tra due quantità algebriche poste su due membri. Se nel caso delle equazioni il segno utilizzato è , nelle disequazioni sono presenti i seguenti a seconda dei casi.

La differenza tra una semplice uguaglianza e un'equazione, infine, sta nelle caratteristiche di tali quantità: se, infatti, oltre ai valori numerici è presente un'incognita, allora si è di fronte a un'equazione. Questo discorso può essere esteso anche al divario tra disuguaglianza e disequazione.

Non tutte le equazioni e le disequazioni sono uguali: le strategie da seguire per risolvere sono infatti diverse a seconda del grado dell'equazione. Il grado dell'equazione è pari all'esponente massimo con cui l'incognita si presenta nell'equazione. Facciamo un esempio: l'equazione è un'equazione di secondo grado, in quanto l'incognita è presente al massimo con esponente 2. Nel caso, invece, dell'equazione , vi è un'equazione di primo grado.

Le equazioni di primo grado possono essere risolte semplicemente isolando le incognite in un solo membro utilizzando i principi di equivalenza. Essi affermano che aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri la stessa quantità oppure moltiplicando o dividendo ad ambedue i membri lo stesso valore l'uguaglianza persiste.

Soluzioni generalizzate per le disequazioni di primo e secondo grado

Qui sopra si può vedere la tabella generale per la risoluzione di una qualsiasi disequazione di secondo grado, ovvero una disequazione con l'incognita di grado massimo 2.
Questa tabella è derivata dalle soluzioni grafiche con le parabole. Infatti se si costruissero delle parabole per ognuno di questi casi si noterebbe che le soluzioni sono coincidenti con quelle della tabella.

Naturalmente studiare la tabella permette di risparmiare lavoro, ma comunque memorizzare tale mole di informazione potrebbe essere controproducente sul lungo termine. Per quanto riguarda i casi con il delta positivo e quelli con il delta negativo possiamo ricorrere ad una semplificazione della regola. Per quanto riguarda i casi col delta nullo, la costruzione della parabola è la soluzione più consigliata.

Come risolvere le disequazioni di secondo grado avente discriminante (delta) positivo

Quando il delta è positivo vale la regola del "positivo-esterni", "negativo-interni". Infatti una disequazione con il segno maggiore avente due radici ha come soluzione l'insieme dei valori esterni all'intervallo numerico avente come estremi le due radici ottenute dalla formula (estremi esclusi nel caso del maggiore ed estremi inclusi nel caso del maggiore uguale).

Viceversa, una disequazione con segno minore avente due radici ha come soluzione l'insieme rappresentato dall'intervallo di valori interni aventi come estremi le due radici (sempre estremi esclusi nel caso del minore ed inclusi nel caso del minore uguale). Facciamo un paio di esempi di disequazioni lineari.

Esempio sulle disequazioni di secondo grado

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Effettuiamo un raccoglimento totale della e risolviamo l'equazione associata:
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Noto le due radici per cui l'equazione associata vale zero. Dunque so per certo che il discriminante è positivo. Ricorro alla legge dei "negativi-interni". La soluzione é:
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Secondo esempio sulle disequazioni di secondo grado

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Porto in forma normale:
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Cambio segni e cambio verso:
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Risolvo con la legge generale per la risoluzione delle equazioni di secondo grado per trovare le radici:
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Ora sfrutto la regola del "positivo-esterno". La soluzione è:
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Come risolvere le disequazioni di secondo grado avente discriminante (delta) negativo

Quando invece il delta è negativo tutto è più facile. Proviamo ad immaginarci una parabola quando il delta è negativo: tutto il grafico si trova nel primo quadrante senza intersezioni con l'asse . Perciò le soluzioni possono essere o tutte o nessuna. Generalizzando e specificando allo stesso tempo otteniamo che "positivo-tutte", "negativo-nessuna". Facciamo pure qui un paio d'esempi applicativi.

Primo esempio sulle disequazioni di secondo grado con delta negativo

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Utilizzo la formula risolutiva ridotta (poichè b è pari) per trovare gli zeri:
. E' impossibile.
Utilizzo la regola del "negativo-nessuna" scrivo la soluzione: .

Secondo esempio sulle disequazioni di secondo grado con delta negativo

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Utilizzo la formula risolutiva ridotta (poichè b è pari) per trovare gli zeri:
è impossibile.
Utilizzo la regola del "positivo-tutte" posso scrivere che .

Per ulteriori approfondimenti sulle disequazioni di 2° grado vedi anche qui