Disequazioni irrazionali: metodi di risoluzione

Appunto di matematica in cui vengono definite le disequazioni irrazionali e descritti i metodi utili alla risoluzione di queste ultime in base all'indice della radice e dei segni.

_Tipper
di _Tipper
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Nel seguente appunto viene fornita la definizione di disequazione irrazionale e vengono spiegati i metodi utilizzabili per risolverle. È importante, a tal fine, ricordare che la radice n-esima di un numero esiste sempre se

[math] n [/math]
è dispari ma non esiste sempre se
[math] n [/math]
è pari, poiché la radice
[math]n[/math]

-esima di un numero, se

[math]n[/math]

è pari, esiste solo per i numeri maggiori o uguali a 0.

Disequazioni irrazionali: metodi di risoluzione articolo

Indice

  1. Disequazioni irrazionali - definizione
  2. Disequazioni irrazionali - caso n dispari
  3. Disequazioni irrazionali - caso n pari
  4. Esempio

Disequazioni irrazionali - definizione

Dato

[math]n \in \mathbb{N}^{*}[/math]

(ossia l'insieme dei numeri interi positivi), una disequazione irrazionale è una disuguaglianza in cui l'incognita compare sotto il segno di radice, pertanto ogni disequazione irrazionale si può scrivere in una di queste quattro forme:

Caso 1

[math]\sqrt[n]{f(x)} \ge g(x)[/math]

Caso 2

[math]\sqrt[n]{f(x)} > g(x)[/math]

Caso 3

[math]\sqrt[n]{f(x)} \le g(x)[/math]

Caso 4

[math]\sqrt[n]{f(x)} > g(x)[/math]

Disequazioni irrazionali - caso n dispari

Se

[math]n[/math]

è dispari, infatti, per risolvere la disequazione è sufficiente elevare ambo i membri alla potenza

[math]n[/math]

-esima, e risolvere la nuova disequazione così ottenuta.


Esempio:

Risolvere la disequazione:

[math] \sqrt[5]{6x+5} \le 10 - x[/math]

è equivalente a risolvere la disequazione

[math] 6x + 5 \le (10 - x)^5 [/math]

, e quella ottenuta non è più irrazionale, bensì polinomiale.

Disequazioni irrazionali - caso n pari

Nel seguito consideriamo i casi con

[math]n[/math]

pari.

Consideriamo i casi seguenti:

[math] \sqrt[n]{f(x)} \ge g(x)[/math]

e il caso simile

[math] \sqrt[n]{f(x)} > g(x)[/math]

Il procedimento risolutivo di una disequazione irrazionale del tipo

[math]
\sqrt[n]{f(x)} \ge g(x)[/math]

, consiste nella risoluzione dei seguenti sistemi:

[math]\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \ \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ (f(x) \ge g^n(x)) \end{cases} [/math]

poiché ricordiamo che la radice di indice pari di un numero reale non negativo restituisce sempre un numero non negativo.

Esempio

Risolvere

[math]\sqrt{2x+3} \ge x+1[/math]

Si tratta di risolvere i sistemi:

[math] \begin{cases} 2x+3 \ge 0 \\ x+1>0 \ \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ 2x+3 \ge x^2 + 2x + 1 \end{cases}[/math]

dove il

[math]x^2+2x+1[/math]

spunta dopo che si ha elevato al quadrato

[math] g(x) = x + 1[/math]

secondo la classica regola del quadrato di un binomio.

Per approfondimenti sul quadrato di un binomio, vedi anche qua.

Risolviamo il primo sistema: nel primo sistema la prima riga ha soluzione

[math]x \ge \frac{-3}{2}[/math]

mentre la seconda riga ha soluzione

[math] x > -1 [/math]

.
L'intervallo soluzione comune ad entrambe le disequazioni è

[math] [-\frac{3}{2}; -1[ [/math]

, quindi la soluzione del primo sistema è:

[math]-\frac{3}{2} \le x > -1[/math]

.

Risolviamo ora il secondo sistema: la prima riga ha soluzione

[math] x \ge -1 [/math]

, mentre la seconda riga è una disequazione di secondo grado

[math] x^2-2 \le 0 [/math]

, le cui soluzioni dell'equazione associata sono

[math] \pm \sqrt{2}[/math]

, da ciò ricaviamo che la seconda riga ha soluzione

[math] -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2} [/math]

. L'intervallo comune ad entrambe le righe è

[math] [-1; \sqrt{2}] [/math]

quindi il secondo sistema è risolto per

[math]-1 \le x \le \sqrt{2}[/math]

, pertanto la soluzione della disequazione irrazionale è quello che si ottiene unendo gli intervalli:

[math]-\frac{3}{2} \le x \le \sqrt{2}[/math]

.

Il procedimento risolutivo per disequazioni nella forma

[math]
\sqrt[n]{f(x)} > g(x)[/math]

è del tutto analogo al precedente, a parte il segno di disuguaglianza presente nella seconda equazione del secondo sistema:

[math]\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \ \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases} g(x) > 0 \\ f(x) > g^n(x) \end{cases}[/math]

Consideriamo ora gli altri due casi rimanenti:

[math]\sqrt[n]{f(x)} \le g(x)[/math]

e

[math]
\sqrt[n]{f(x)}

La risoluzione di una disequazione irrazionale del tipo

[math]
\sqrt[n]{f(x)} \le g(x)[/math]
equivale alla risoluzione del seguente sistema:

[math]\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le g^n(x) \end{cases}[/math]

Disequazioni irrazionali: metodi di risoluzione articolo

Esempio: Risolvere la disequazione

[math]\sqrt{3x+6} \le x-3[/math]
, è equivalente a risolvere questo sistema:
[math]\begin{cases} 3x+6 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \\ 3x+6 \le x^2 - 6x + 9 \end{cases}[/math]
.
Utilizzando i semplici metodi di risoluzione delle disequazioni di primo grado, troviamo che la prima e la seconda riga corrispondono a
[math]x \ge -2[/math]
e
[math]x \ge 3[/math]
rispettivamente. La terza riga è una disequazione di secondo grado:
[math] x^2-9x+3 \ge 0 [/math]
, la cui equazione associata ha soluzione
[math]x=\frac{ 9 \pm \sqrt{69}}{2}[/math]
, di conseguenza la soluzione della disequazione sarà
[math]x \le \frac{ 9 - \sqrt{69}}{2} \vee x \le \frac{ 9 + \sqrt{69}}{2}[/math]
. Il sistema può quindi essere riscritto così:
[math] \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge 3 \\ x \le \frac{ 9 - \sqrt{69}}{2} \vee x \le \frac{ 9 + \sqrt{69}}{2} \end{cases} [/math]
Le prime due condizioni possono essere "fuse" in
[math]x \ge 3[/math]
. Il sistema diventa quindi:
[math] \begin{cases} x \ge 3 \\ x \le \frac{ 9 - \sqrt{69}}{2} \vee x \le \frac{ 9 + \sqrt{69}}{2} \end{cases} [/math]
Dal momento che
[math]\frac{9+\sqrt{69}}{2} > 3 [/math]
si ha che quindi la disequazione irrazionale iniziale è soddisfatta per
[math]x \ge \frac{9 + \sqrt{69}}{2}[/math]
.

Il procedimento risolutivo per disequazioni del tipo

[math]
\sqrt[n]{f(x)} è analogo al precedente, con alcune piccole modifiche alle condizioni del sistema da studiare:
[math]\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) > g^n(x) \ \end{cases}[/math]

Per ulteriori approfondimenti sui sistemi di disequazioni vedi anche qua

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