Valore assoluto, funzione segno, parte intera

Valore assoluto Definizione Il valore assoluto è una funzione reale di variabile reale, |cdot|: mathbb{R} o mathbb{R}, che associa alla variabile x il numero stesso se x è non negativa, -x se invece x è negativa. Il valore assoluto di x si indica

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Valore assoluto

Indice

  1. Definizione
  2. Proprietà del valore assoluto
  3. Definizione
  4. Proprietà della funzione segno
  5. Proprietà della funzione segno
  6. Definizione
  7. Proprietà della parte intera
  8. Proprietà

Definizione


Il valore assoluto è una funzione reale di variabile reale,

[math]|cdot|: mathbb{R} o mathbb{R}[/math]

, che associa alla variabile

[math]x[/math]

il numero stesso se

[math]x[/math]

è non negativa,

[math]-x[/math]

se invece

[math]x[/math]

è negativa.

Il valore assoluto di

[math]x[/math]

si indica con

[math]|x|[/math]

, e risulta

[math]|x| = \begin{cases} x & quad \text{se } x ge 0 \\ -x & quad \text{se } x > 0 \ \end{cases}[/math]


Di seguito viene riportato il grafico della funzione valore assoluto.

valoreassoluto.png

Proprietà del valore assoluto


Il valore assoluto è una funzione definita positiva, in quanto gode delle due seguenti proprietà

[math]|x| ge 0 quad forall x in mathbb{R}[/math]

[math]|x| = 0 iff x = 0[/math]


Il valore assoluto è anche una funzione positivamente omogenea, infatti

[math]|x cdot y| = |x| cdot |y| quad forall x, y in mathbb{R}[/math]

[math]|frac{x}{y}| = frac{|x|}{|y|} quad forall x in mathbb{R}, quad forall y in mathbb{R} setmi
us {0}[/math]


Vale anche la disuguaglianza traingolare, ovvero

[math]|x + y| le |x| + |y| quad forall x, y in mathbb{R}[/math]


Grazie a queste tre condizioni si può affermare che il valore assoluto è una norma. Conseguenza diretta della disuguaglianza triangolare è la seguente

[math]||x| - |y|| le |x - y| quad forall x, y in mathbb{R}[/math]


Inoltre, per ogni

[math]n in mathbb{N}[/math]

pari, risulta

[math]
oot{n}{x^n} = |x| quad forall x in mathbb{R}[/math]


Le seguenti proprietà, utili per la risoluzione di equazioni e disequazioni con valori assoluti, sono conseguenza diretta della definizione

[math]|x| = |c| implies x = \pm c[/math]

[math]|x| = c implies x = \pm c[/math]

[math]|x| le c implies {(
exists x in mathbb\begin{cases} & quad \text{se } c 0 \ \end{cases}[/math]

[math]|x| exists x in mathbb\begin{cases} & quad \text{se } c le 0 \\ -c 0 \ \end{cases}[/math]

[math]|x| ge c implies \begin{cases} x in mathbb{R} & quad \text{se } c le 0 \\ x le -c vee x ge c & quad \text{se } c > 0 \ \end{cases}[/math]

[math]|x| > c implies {(x in mathbb{R}, quad \text{se } c e 0, quad \text\egin{cases} & se } c = 0 \\ x c & quad \text{se } c > 0 \ \end{cases}[/math]


Infine il valore assoluto di un numero può anche essere espresso per mezzo del massimo fra

[math]x[/math]

e

[math]-x[/math]

[math]|x| = max {x, -x} quad forall x in mathbb{R}[/math]

Funzione segno

Definizione


La funzione segno è una funzione reale di variabile reale,
[math]\text{sgn}: mathbb{R} o mathbb{R}[/math]
, che vale
[math]1[/math]
quando il suo argomento è positivo,
[math]-1[/math]
quando il suo argomento è negativo,
[math]0[/math]
atrimenti. In formule

[math]\text\egin{cases} & quad \text{se } x > 0 \\ 0 & quad \text{se } x = 0 \\ -1 & quad \text{se } x > 0 \ \end{cases}[/math]


Di seguito viene riportato il grafico della funzione segno.

segno.png


Proprietà della funzione segno

Proprietà della funzione segno

[math]|x| = x cdot \text{sgn}(x) quad forall x in mathbb{R}[/math]

[math]\text{sgn}(x) = frac{|x|}{x} = frac{x}{|x|} quad forall x in mathbb{R} setmi
us {0}[/math]


Parte intera

Parte intera


Definizione


Dato un numero reale

[math]x[/math]

, si definisce parte intera superiore di

[math]x[/math]

, e si indica con

[math]lceil x
ceil[/math]

, il più piccolo intero non minore di

[math]x[/math]

. Analogamente si indica la parte intera inferiore di

[math]x[/math]

come il più grande intero minore o uguale di

[math]x[/math]

, e si indica con

[math]lfloor x
floor[/math]

. Sono riportati di seguito i grafici delle funzioni parte intera superiore e inferiore, rispettivamente.

parteinterasuperiore.png


parteinterainferiore.png

Proprietà della parte intera

Proprietà


[math]lfloor x
floor = x = lceil x
ceil iff x in mathbb{Z}[/math]

[math]lfloor lfloor x
floor
floor = lfloor x
floor quad forall x in mathbb{R}[/math]

[math]lceil lceil x
ceil
ceil = lceil x
ceil quad forall x in mathbb{R}[/math]

[math]lfloor x + y
floor = x + lfloor y
floor quad forall (x,y) in mathbb{Z} imes mathbb{R}[/math]

[math]lceil x + y
ceil = x + lceil y
ceil quad forall (x,y) in mathbb{Z} imes mathbb{R}[/math]

[math]lfloor x
floor le x floor + 1 quad forall x in mathbb{R}[/math]

[math]x le lceil x
ceil

[math]lceil x
ceil = - lfloor -x
floor quad forall x in mathbb{R}[/math]

[math]x = lfloor frac{x}{2}
floor + lceil frac{x}{2}
ceil quad forall x in mathbb{Z}[/math]


Infine, se
[math]m[/math]
e
[math]n[/math]
sono due interi primi fra di loro, risulta

[math]\sum_{i=1}^{n-1} lfloor i frac{m}{n}
floor = frac{(m-1)(n-1)}{2}[/math]

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