Esercizi sul polinomio di Taylor: Calcolare lo sviluppo di Taylor della seguente funzione nel punto x=0 fino all'ottavo ordine: f(x)=sin(x^2 + x^3)

di _stan

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Per la risoluzione dellesercizio ricordiamo lo sviluppo fondamentale della funzione seno nel punto

[math]x=0[/math]

[math] \sin(z) = z - \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} - \cdots + \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{{2n+1}!} + o(z^{2n+1}) [/math]

In questo caso, è possibile effettuare la sostituzione

[math] z = x^2 + x^3[/math]

, in quanto per x tendente a zero, si ha che

[math] x = x^2 + x^3 [/math]

, e quindi anche che

[math] o(z) = o(x^2 + x^3) [/math]

Essendo l'argomento della funzione seno di terzo grado, per poter raggiungere uno sviluppo all'ottavo ordine, sarà suffciente sviluppare la funzione

[math]\sin(z)[/math]

fino al terzo ordine:

[math] \sin(z) = z - \frac{z^3}{6} + o(z^3) [/math]

Effettuiamo ora la sostituzione:

[math] \sin((x^2 + x^3)) = (x^2 + x^3) - \frac{(x^2 + x^3)^3}{6} + o((x^2 + x^3)^3) [/math]

Svolgiamo i calcoli:

[math] \sin((x^2 + x^3)) = x^2 + x^3 - \frac{ (x^2)^3 + (x^3)^3 + 3 (x^2)^2 \cdot x^3 + 3 x^2 \cdot (x^3)^2 }{6} + o((x^2 + x^3)^4) [/math]

[math] \sin((x^2 + x^3)) = x^2 + x^3 - \frac{ x^6 + x^9 + 3 x^7 + 3 x^8 }{6} + o((x^2 + x^3)^4) [/math]

Senza svolgere la quarta potenza all'interno dell'o-piccolo, possiamo facilmente vedere che la potenza di grado minore che comparirà come argomento sarà proprio quella di quarto grado; quindi possiamo direttamente scrivere

[math] o((x^2 + x^3)^4) = o(x^8) [/math]

[math] \sin((x^2 + x^3)) = x^2 + x^3 - \frac{1}{6} x^6 - \frac{1}{6} x^9 - \frac{1}{2} x^7 - \frac{1}{2} x^8 + o(x^8) [/math]

Di conseguenza, possiamo eliminare tutti i termini che presentano potenze di x maggiori di 8, in quanto essi verranno inglobati all'interno dello-piccolo di ottavo ordine:

[math] \sin((x^2 + x^3)) = x^2 + x^3 - \frac{1}{6} x^6 - \frac{1}{2} x^7 - \frac{1}{2} x^8 + o(x^8) [/math]

Esercizi sul polinomio di Taylor: Calcolare lo sviluppo di Taylor della seguente funzione nel punto x=0 fino all'ottavo ordine: f(x)=sin(x^2 + x^3)

Per la risoluzione dell'esercizio ricordiamo lo sviluppo fondamentale della funzione seno nel punto x=0

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