Esercizi sul polinomio di Taylor: Calcolare lo sviluppo di Taylor della seguente funzione nel punto x_0=0 fino al sesto ordine: f(x)=6 sin^2(x)+log(1 + x^2)

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Dato che lesercizio richiede lo sviluppo in serie di Taylor della funzione nel punto

[math]x_0=0[/math]

, possiamo avvalerci degli sviluppi fondamentali della funzione seno e della funzione logaritmo; ricordiamo che gli sviluppi fondamentali sono i seguenti:

[math] \sin(z) = z - \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} - \cdots + \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{{2n+1}!} + o(z^{2n+1}) [/math]

[math] \log(1+z) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} + \cdots + (-1)^{n+1} \frac{z^n}{n} + o(z^n) [/math]

Cominciamo dallo sviluppo della prima funzione; poiché la funzione seno è elevata al quadrato, per ottenere uno sviluppo al sesto ordine della funzione di partenza, occorre sviluppare

[math]\sin(z)[/math]

al quinto ordine, ottenendo il seguente sviluppo:

[math] \sin(z) = z - \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} + o(z^5) [/math]

In questo caso, la sostituzione sarà semplicemente

[math] z = x[/math]

; quindi avremo:

[math] \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5) [/math]

All'interno della nostra funzione, tale espressione è elevata al quadrato e moltiplicata per un fattore 6:

[math] 6 (\sin(x))^2 = 6 (x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5))^2 [/math]

Procediamo quindi al calcolo del quadrato, ricordando le proprietà algebriche dell'o-piccolo:

[math] 6 (\sin(x))^2 = 6 (x^2 + \frac{x^6}{36} + \frac{x^10}{120^2} - \frac{x^4}{3} + \frac{x^6}{60} - \frac{x^8}{360} + o(x^6)) [/math]

Come sappiamo, possiamo eliminare tutte le potenze di grado maggiore a 6, in quanto esse vengono inglobate all'interno di

[math]o(x^6)[/math]

; quindi abbiamo:

[math] 6 (\sin(x))^2 = 6 (x^2 + \frac{x^6}{36} - \frac{x^4}{3} + \frac{x^6}{60} + o(x^6)) = [/math]

[math] 6 x^2 + \frac{x^6}{6} - 2x^4 + \frac{x^6}{10} + o(x^6) = 6 x^2 - 2x^4 + \frac{4 x^6}{15} + o(x^6) [/math]

Procediamo con lo stesso ragionamento determinando lo sviluppo del logaritmo; questa volta, per, considerando il grado dell'argomento, possiamo fermare lo sviluppo di

[math]\log(z)[/math]

al terso ordine:

[math] \log(1+z) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} + o(z^3) [/math]

Effettuiamo ora la sostituzione

[math] z = x^2[/math]

, tenendo presente che per

[math]x \to 0[/math]

si ha che

[math] x = x^2[/math]

, e quindi possiamo affermare che

[math] o(z) = o(x^2) [/math]

[math] \log(1+ x^2) = x^2 - \frac{(x^2)^2}{2} + \frac{(x^2)^3}{3} + o((x^2)^3) = [/math]

[math] x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} + o(x^6) [/math]

Possiamo quindi determinare lo sviluppo della funzione di partenza:

[math] f(x) = 6 \sin^2(x) + \log(1 + x^2) = [/math]

[math]6 x^2 - 2x^4 + \frac{4 x^6}{15} + o(x^6) + x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} + o(x^6) = [/math]

[math] 7 x^2 - \frac{5 x^4}{2} + \frac{3 x^6}{5} + o(x^6) [/math]

Esercizi sul polinomio di Taylor: Calcolare lo sviluppo di Taylor della seguente funzione nel punto x_0=0 fino al sesto ordine: f(x)=6 sin^2(x)+log(1 + x^2)

Dato che l'esercizio richiede lo sviluppo in serie di Taylor della funzione nel punto x_0=0 , possiamo avvalerci degli sviluppi fondamentali della funzione seno e della funzione logaritmo

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