Ad inizio anno, in una certa scuola si forma una classe di 20 alunni.
- Gli studenti devono essere divisi in 4 gruppi, due da [math]6[/math]e due da[math]4[/math]. In quanti modi possibile suddividerli?
- Si devono eleggere 4 ragazzi: due rappresentanti e due vice-rappresentanti. Determinare in quanti modi possibile scegliere i 4 ragazzi, sapendo che ovviamente uno studente non può ricoprire la carica di rappresentante e di vice? (i 4 devono essere tutti distinti)
Primo problema
I ragazzi sono venti.
Supponiamo che l'insegnante decida i primi sei ragazzi che compongono un gruppo: questi possono essere scelti in
[math]C_{20,6}[/math]
modi, ovvero [math]\binom{20}{6}[/math]
modi. L'ordine non conta infatti, i gruppi differiscono solo per qualità.Scelti
[math]6[/math]
ragazzi qualsiasi, decide di chiamarne altri [math]6[/math]
per formare il secondo gruppo.A questo punto questi
[math]6[/math]
possono essere scelti tra i rimanenti [math]14[/math]
(infatti un gruppo è già determinato)I possibili modi sono pertanto
[math]\binom{14}{6}[/math]
Mancano [math]8[/math]
ragazzi all'appello.L'insegnante ne sceglie
[math]4[/math]
. Le possibili combinazioni sono date da [math]\binom{8}{4}[/math]
.I restanti
[math]4[/math]
possono essere scelti in un modo solo.Pertanto le possibili configurazioni sono
[math]\binom{20}{6} \cdot \binom{14}{6} \cdot \binom{8}{4} = \frac{20!}{(6!6!4!4!)} = 8147739600[/math]
Secondo problema
Supponiamo che dobbiamo scegliere prima i due rappresentanti, e successivamente i due vice.
I due rappresentanti possono essere scelti in
[math]C_{20,2}[/math]
modi.A questo punto i vice possono essere scelti tra i 18 rimanenti in
[math]C_{18,2}[/math]
modi.Le configurazione possibili sono dunque
[math]\binom{20}{2} \cdot \binom{18}{2} = 29070[/math]
Alternativamente potevamo dire che i [math]4[/math]
ragazzi addetti alla rappresentanza sono selezianabili in [math]\binom{20}{4}[/math]
e tra di essi le possibili configurazioni "primi rappresentanti e vice" sono [math]\binom{4}{2}[/math]
1Peranto le configurazioni totali sono:
[math]\binom{20}{4} \cdot \binom{4}{2} = 29070[/math]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
