Si risolva la seguente disequazione
[math](2x+5)/(1-4x^2)-(x+2)/(4x^2-4x+1)
Iniziamo con il fattorizzare i denominatori delle frazioni, poichè sappiamo che in seguito dovremo eseguire il calcolo del minimo comun denominatore. Si avrà
[math](2x+5)/((1-2x)(1+2x))-(x+2)/((1-2x)^2)
e portando al primo membro la frazione che sta al secondo, otteniamo
[math](2x+5)/((1-2x)(1+2x))-(x+2)/((1-2x)^2)-3/(1+2x)
Il minimo comun denominatore risulta essere
[math](1-2x)^2 \cdot (1+2x)[/math]
Riconducendo il tutto ad un'unica frazione, otterremo dunque
[math]((2x+5)(1-2x)-(x+2)(1+2x)-3(1-2x)^2)/((1-2x)^2 \cdot (1+2x))
Ovvero
[math](-18x^2-x)/((1-2x)^2 \cdot (1+2x))
Ora nel denominatore
[math](1-2x)^2>0 AA x in RR -{1/2}[/math]
poichè è un quadrato e non influisce sul segno, per cui discutiamo solo la disequazione
[math](-18x^2-x)/(2x+1)
Andiamo a trovare le radici di numeratore e denominatore, e di conseguenza la loro positività e negatività
[math](-18x^2-x)>=0[/math]
Moltiplicando ambo i membri per
[math]-1[/math]
e cambiando verso alla disequazione
[math](18x^2+x)
ovvero
[math]-1/18
Infine
[math]2x+1>0[/math]
[math][/math]>/div> >div class="mathjax-container">[math]x> -1/2[/math]
Vedendo i punti in cui la disequazione assume valore
[math], in un oppurtuno grafico dove sono riporati gli intervalli si ricava:
[math]-1/2>x> U >div class="mathjax-container">[math]0 U >div class="mathjax-container">[math]x>1/2[/math]
I due intervalli
[math]0 U >div class="mathjax-container">[math]x>1/2[/math]
non possone essere uniti perchè per [math]x=1/2[/math]
non ha senso la disequazione.
FINE
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