Disequazioni: (x^2 - 2)/(x^3 - 2x^2 + 4x - 8) + (x + 2)/(x^2 + 4) >= 1/(x

di _Steven

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Si risolva la seguente disequazione

[math](x^2 - 2)/(x^3 - 2x^2 + 4x - 8) + (x + 2)/(x^2 + 4) >= 1/(x - 2)[/math]

Iniziamo a portare tutti gli addendi al primo membro.

[math](x^2 - 2)/(x^3 - 2x^2 + 4x - 8) + (x + 2)/(x^2 + 4) - 1/(x - 2) >= 0[/math]

Ora scomponiamo il denominatore della prima frazione. Esso si annulla per

[math]x=2[/math]

e usando dunque Ruffini si giunge a

[math](x^2 - 2)/((x^2 + 4)(x - 2 )) + (x + 2)/(x^2 + 4) - 1/(x - 2) >= 0[/math]

Ora possiamo calcolare il minimo comun denominatore e ridurre il tutto a una sola frazione.

Facendo dei semplici calcoli, si giunge a

[math](x^2 - 2 + (x + 2)(x - 2) - 1(x^2 + 4))/((x^2 + 4)(x - 2)) >= 0[/math]

Svolgendo i prodotti che riguardano le parentesi, si ha

[math](x^2 - 2 + x^2 - 4 - x^2 - 4)/((x^2 + 4)(x - 2)) >= 0[/math]

e sommando

[math](x^2 - 10)/((x^2 + 4)(x - 2)) >= 0[/math]

La forma della disequazione è abbastanza semplice. Possiamo effettuare un'ulteriore semplificazione.

Il fattore

[math]x^2+4[/math]

è sempre positivo strettamente (cioè nemmeno può essere nullo) perchè è la somma di due quantità positive.

Perciò possiamo trascurarlo nello studio del segno.

La disequazione si riduce a

[math](x^2 - 10)/(x - 2) >= 0[/math]

possiamo anche scrivere

[math]((x - \sqrt10){x+\sqrt10})/(x - 2) >= 0[/math]

Perciò possiamo segnare sulla solita retta che si disegna in questi casi 3 valori:

[math]-\sqrt10[/math]

[math]2[/math]

[math]\sqrt10[/math]

Il numeratore risulta positivo per valori esterni ai due radicali: il denominatore è positivo per

[math]x>2[/math]

Si vengono a formare 4 intervalli: i due per i quali abbiamo che la frazione è positiva sono

[math]-\sqrt10

[math]x>=\sqrt10[/math]

Notiamo che prendiamo in considerazione anche i valori

[math]x=-\sqrt10[/math]

[math]x=\sqrt10[/math]

perchè per tali valori la frazione è nulla.

Per

[math]x=2[/math]

la frazione non è definita.

FINE

Disequazioni: (x^2 - 2)/(x^3 - 2x^2 + 4x - 8) + (x + 2)/(x^2 + 4) >= 1/(x - 2)

Si risolva la seguente disequazione (x^2 - 2)/(x^3 - 2x^2 + 4x - 8) + (x + 2)/(x^2 + 4) >= 1/(x - 2) Iniziamo a portare tutti gli addendi al primo membro. (x^2 - 2)/(x^3 - 2x^2 + 4x...

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