Indice
Problema
Calcola il valore della seguente espressione letterale:
[math]\left( 1 - \frac{x + 1}{x - 1} \right) : \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{3x + 6}{x^2 - 4} - \frac{2}{x^2 - 3x + 2} : \left( \frac{x}{x + 3} - \frac{x}{x - 3} \right) + \frac{2x - 2}{x(x - 2)(x - 1)^2}[/math]
Svolgimento
Scomponiamo in fattori i polinomi scomponibili:
[math]\left( 1 - \frac{x + 1}{x - 1} \right) : \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{3(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{2}{(x - 2)(x - 1)} : \left( \frac{x}{x + 3} - \frac{x}{x - 3} \right) + \frac{2(x - 1)}{x(x - 2)(x - 1)^2}[/math]
Determiniamo le condizioni di esistenza e poi semplifichiamo:
[math] C.E. : [/math]
[math] x - 1 = 0 \text{ oppure } x = 1 [/math]
[math] x + 2 = 0 \text{ oppure } x = - 2 [/math]
[math] x - 2 = 0 \text{ oppure } x = 2 [/math]
[math] x + 3 = 0 \text{ oppure } x = - 3 [/math]
[math] x - 3 = 0 \text{ oppure } x = 3 [/math]
[math] x = 0 [/math]
[math]\left( 1 - \frac{x + 1}{x - 1} \right) : \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{(x - 2)(x - 1)} : \left( \frac{x}{x + 3} - \frac{x}{x - 3} \right) + \frac{2}{x(x - 2)(x - 1)} =[/math]
Ora svolgiamo le somme all'interno delle parentesi tonde:
[math]\left( \frac{x - 1 - x - 1}{x - 1} \right) : \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{(x - 2)(x - 1)} : \left[ \frac{x(x - 3) - x(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} \right] + \frac{2}{x(x - 2)(x - 1)} =[/math]
[math]\left( \frac{-2}{x - 1} \right) : \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{(x - 2)(x - 1)} : \left[ \frac{x(x - 3) - x(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} \right] + \frac{2}{x(x - 2)(x - 1)} =[/math]
All'interno della parentesi quadra possibile raccogliere la x:
[math]\left( \frac{-2}{x - 1} \right) \div \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{(x - 2)(x - 1)} \div \left[ \frac{x \left( (x - 3) - (x + 3) \right)}{(x + 3)(x - 3)} \right] + \frac{2}{x(x - 2)(x - 1)} =[/math]
[math]\left( \frac{-2}{x - 1} \right) \div \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{(x - 2)(x - 1)} \div \left[ \frac{x \left( (x - 3) - (x + 3) \right)}{(x + 3)(x - 3)} \right] + \frac{2}{x(x - 2)(x - 1)} =[/math]
[math]\left( \frac{-2}{x - 1} \right) \div \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{(x - 2)(x - 1)} \div \left[ \frac{-6x}{(x + 3)(x - 3)} \right] + \frac{2}{x(x - 2)(x - 1)} =[/math]
Svolgiamo ora le divisioni:
[math]\left( \frac{-2}{x - 1} \right) \cdot \frac{x - 1}{x - 2} + \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{(x - 2)(x - 1)} \cdot \left[ \frac{(x + 3)(x - 3)}{-6x} \right] + \frac{2}{x(x - 2)(x - 1)} =[/math]
[math]\frac{-2}{x - 2} + \frac{3}{x - 2} - \frac{(x + 3)(x - 3)}{3x(x - 2)(x - 1)} + \frac{2}{x(x - 2)(x - 1)} =[/math]
[math]\frac{-2}{x - 2} + \frac{3}{x - 2} - \frac{x^2 - 9}{3x(x - 2)(x - 1)} + \frac{2}{x(x - 2)(x - 1)} =[/math]
Calcoliamo il minimo comune multiplo:
[math]\frac{-6x \cdot (x - 1) + 9x (x - 1) + x^2 - 9 + 6}{3x (x - 2)(x - 1)} = [/math]
[math]\frac{-6x \cdot (x - 1) + 9x (x - 1) + x^2 - 9 + 6}{3x (x - 2)(x - 1)} =[/math]
[math]\frac{-6x^2 + 6x + 9x^2 - 9x + x^2 - 9 + 6}{3x (x - 2)(x - 1)} =[/math]
[math]\frac{4x^2 - 3x - 3}{3x (x - 2)(x - 1)}[/math]
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