Piramide retta a base triangolare - esercizio svolto

In questo appunto andremo ad affrontare un esercizio relativo alle piramidi rette, ovvero una piramide in cui la proiezione del vertice cade esattamente nel centro della circonferenza inscritta alla base.
In questo caso, la base sarà un triangolo isoscele, vediamo meglio nel dettaglio l'esercizio.

Testo dell'esercizio

Una piramide retta ha per base un triangolo isoscele avente la misura della base di e l'altezza di ; sapendo che l'altezza della piramide misura , calcola l'area della superficie totale della piramide.

Soluzione dell'esercizio

Per calcolare l'apotema della base, serve conoscere il raggio della circonferenza inscritta al triangolo, che è pari all'area della base diviso il suo semiperimetro.
Per conoscere il perimetro di base troviamo i lati obliqui usando il teorema di Pitagora, perché in un triangolo isoscele i lati obliqui sono le ipotenuse di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza del triangolo intero e metà base.
Così facendo si ottiene che il lato obliquo vale:
pertanto otteniamo così facendo il perimetro e l'area della base:
Otteniamo così l'apotema, dividendo l'area per il semiperimetro:
Ora ritorniamo alla piramide e consideriamo il triangolo rettangolo , ci servirà per trovare l'apotema della piramide, cioè l'altezza della faccia. Chiamiamo il punto il piede dell'altezza sul lato della piramide e sia il vertice della piramide:
Si ha allora:
E infine possiamo calcolare la superficie totale sommando l'area di base al risultato ottenuto poco prima.