Quadrilateri: definizione e proprietà

In questo appunto di geometria per le medie viene trattata la definizione di quadrilatero e le proprietà di esso, per poi descrivere come calcolare il perimetro e l'area nel generico quadrilatero.

Definizione e proprietà di quadrilatero

Si definiscono quadrilateri tutti quei poligoni che hanno quattro lati, quattro angoli e quattro vertici, come si evince dalla parola stessa "quadrilatero" che vuol dire infatti "quattro lati".

In ogni quadrilatero è possibile tracciare un segmento che congiunge due vertici opposti. In particolare, questo segmento che congiunge i vertici opposti del quadrilatero si chiama diagonale, la quale suddivide sempre il quadrilatero in due triangoli. Dal momento che la somma degli angoli interni di un triangolo è

, possiamo intuire che in un quadrilatero, la somma degli angoli interni è doppia rispetto a quella di un triangolo, ovvero

.
I quadrilateri possiedono due diagonali e due lati opposti.
Si distinguono diverse tipologie di quadrilateri, tra cui: il trapezio, il parallelogramma, il rettangolo, il rombo e il quadrato.
Si dice che un quadrilatero sia inscrivibile in una circonferenza se l'ampiezza degli angoli opposti sommati fra loro restituisce lo stesso valore. Dato un quadrilatero

, con angoli

,

,

, e

, si può scrivere che un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se:

Da ciò risulta chiaro che tra tutti i parallelogrammi, ad esempio, solo il quadrato e il rettangolo sono inscrivibili in una circonferenza.
Si dice, invece, che un quadrilatero sia circoscrivibile ad una circonferenza se le somma delle coppie delle lunghezze dei suoi lati opposti siano uguali. In altri termini, un poligono

viene definito circoscrivibile quando:

Da ciò si intuisce che tra tutti i parallelogrammi, ad esempio, solo il quadrato e il rombo sono circoscrivibili ad una circonferenza.

Tipologie di quadrilatero

Innanzitutto occorre distinguere in maniera più generale i quadrilateri convessi dai quadrilateri non convessi. Per quadrilatero convesso si intende una figura piana che ha tutti gli angoli interni con una ampiezza inferiore a

, cioè che per ogni coppia di punti interni contiene tutti i punti del segmento di cui essi sono le estremità. Un quadrilatero non convesso, invece, è una figura piana che presenta almeno un angolo interno con ampiezza maggiore a

, ovvero una figura piana che contiene due punti tali che il segmento che li congiunge possiede punti che non appartengono alla figura stessa.
Dunque l'insieme dei quadrilateri si ripartisce nel sottoinsieme dei quadrilateri convessi e nel sottoinsieme dei quadrilateri non convessi (complementare del precedente). I quadrilateri non convessi sono caratterizzati anche dal fatto che prolungando due loro lati si ottengono punti interni della figura.

Tra i quadrilateri convessi abbiamo: il trapezio, il parallelogramma, il rettangolo, il rombo e il quadrato.
Trapezio: è un quadrilatero avente due lati opposti paralleli e gli altri due non paralleli tra di loro. Esso viene definito isoscele se i due lati non paralleli sono congruenti; si dice rettangolo se uno dei lati non paralleli è perpendicolare alle basi. In ogni trapezio gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono supplementari; se il trapezio è isoscele, gli angoli adiacenti a ciascuna delle basi sono congruenti, così come le loro diagonali.
Parallelogramma: è un quadrilatero avente i lati opposti paralleli. Ciascuna delle diagonali lo divide in triangoli congruenti; i lati opposti sono congruenti; gli angoli opposti sono congruenti, mentre gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari. Le diagonali si tagliano scambievolmente a metà.
Rettangolo: è un parallelogramma avente uno e quindi tutti gli angoli retti e congruenti tra loro. Se due lati consecutivi sono congruenti anche tutti i lati sono congruenti. In ogni triangolo tutte le diagonali sono congruenti.
Rombo: è un parallelogramma che ha quattro lati congruenti. Le diagonali sono perpendicolari e sono bisettrici degli angoli.
Quadrato: è un parallelogramma i cui quattro angoli sono retti e i cui lati congruenti. In ogni quadrato le diagonali sono congruenti, perpendicolari e bisettrici degli angoli.

Formule utili

: Ottenere la misura del perimetro di un quadrilatero equivale ad ottenere una misura del suo "bordo". Infatti, il perimetro consiste nella somma della lunghezza dei lati di cui è costituito un quadrilatero, o qualunque poligono in generale. Ad esempio, se avessimo un quadrilatero con tutti i lati congruenti, supponendo che misurino

, il valore del perimetro sarebbe il seguente:

Area: Ottenere la misura dell'area di un quadrilatero consiste nell'ottenere una misura di quanto "spazio" possa occupare quel dato quadrilatero. Ad esempio, se supponiamo di avere un quadrilatero generico e di volere calcolare l'area, la superficie, è possibile applicare il seguente ragionamento. Il quadrilatero, come già detto, lo possiamo considerare come formato da triangoli. Scomporre idealmente il quadrilatero in triangoli è utile, perché ci semplifica il calcolo dell'area, dal momento che l'area del triangolo è facilmente identificabile. Infatti, data la diagonale, che è quel segmento che congiunge i vertici opposti di un quadrilatero, possiamo idealmente scomporre il quadrilatero in due triangoli e procedere con il calcolo della superficie per i due triangoli. In particolare, dato un quadrilatero ABCD, con diagonale AC, la formulazione per le due superfici,

e

, che costituiscono i due triangoli sarà la seguente:

dove

e

sono le altezze dei due triangoli che compongono il quadrilatero, per cui in conclusione avremo che l'area complessiva del quadrilatero sarà la seguente:

Se indichiamo con

il perimetro del quadrilatero

, e quindi con

il suo semiperimetro, possiamo scrivere la superficie del quadrilatero nel seguente modo:

Per ulteriori approfondimenti sui poligoni vedi anche qui