Equivalenza delle figure piane: descrizione e regole

Questo appunto riguarda il concetto di equivalenza, in geometria, tra figure piane. Si riportano e si descrivono quelle che sono le regole e le formule principali.

Il concetto di equivalenza

In questo paragrafo riprendiamo alcuni concetti e definizioni di geometria piana che ci saranno utili nel seguito.

In geometria, definiamo superficie piana limitata una parte di piano delimitata da una linea chiusa.

Di ogni superficie possiamo valutare l'estensione. Quello di estensione, o di area, è un concetto intuitivo: possiamo dire, per esempio, che due superfici hanno la stessa estensione se, per verniciarle, ci occorrerà la stessa quantità di vernice o se per pavimentarle, utilizzeremo esattamente lo stesso numero di piastrelle.



Se due superfici diverse hanno la stessa area si dice che sono equiestese, oppure equivalenti.

Per indicare che due superfici e sono equivalenti scriveremo che:



Osserva che l'equivalenza tra due superfici è una relazione di equivalenza. Infatti, gode delle proprietà:

• riflessiva, perché ogni figura piana è equivalente a se stessa, cioè:
  
  [math] A \doteq A [/math]


• simmetrica, nel senso che se una figura piana A ha la stessa area di una seconda figura piana B, naturalmente la figura B avrà la stessa area della figura A.
  
  [math] A \doteq B \rightarrow B \doteq A [/math]


• transitiva, nel senso che se una figura piana A è equivalente a una figura piana B e quest'ultima è equivalente ad una terza figura piana C, allora la figura A sarà equivalente a C:
  
  [math] A \doteq B \; , \; B \doteq C \rightarrow A \doteq C [/math]

Come potevamo aspettarci, la proprietà di due figure piane di essere equivalenti, o equiestese, è una relazione di equivalenza.

Relazione tra congruenza ed equivalenza

In questo paragrafo faremo chiarezza sul rapporto tra i concetti di equivalenza e di congruenza. Vedremo che due figure congruenti sono sempre anche equivalenti, ma non è sempre vero il viceversa.

Iniziamo questo paragrafo ricordando che due figure si dicono congruenti quando è possibile ottenerne una delle due può essere portata a coincidere esattamente con l'altra mediante un movimento rigido nel piano, cioè una traslazione, una rotazione oppure una simmetria.

Pertanto due figure congruenti coincidono perfettamente: è una conseguenza naturale il fatto che esse occuperanno la stessa area.

Non è vero, però, il viceversa: se due figure occupano la stessa area, non è detto che esse coincidano.

Per sintetizzare: due figure congruenti sono anche equivalenti ma due figure equivalenti non sono sempre congruenti.

Per comprendere meglio quanto abbiamo appena detto, diamo un'occhiata al file allegato a questo appunto.

Nella Figura 1 sono rappresentati due rettangoli: essi sono perfettamente sovrapponibili. Basta traslare uno dei due e far coincidere i suoi vertici con i vertici dell'altro. Naturalmente, i due rettangoli sono anche equivalenti.

Nella Figura 2 sono mostrate tre figure piane diverse: combinandole tra loro sono state ottenute le due superfici piane rappresentate in Figura 3. Le due superfici non sono congruenti: non è possibile, infatti, sovrapporle perfettamente. Tuttavia, è abbastanza semplice mostrare che si tratta di due figure equivalenti. Entrambe, infatti, sono state ottenute a partire dalle stesse figure piane, e cioè il triangolo, il quadrato ed il rettangolo mostrati in Figura 2.

Le due figure di Figura 3 sono, pertanto, equivalenti ma non congruenti.

Le figure equiscomponibili

Alla base del concetto di equivalenza, c'è quello di equiscomponibilità, che è l'oggetto di questo paragrafo.

In geometria, due figure si dicono equiscomponibili se è possibile scomporle in un numero finito di parti, in modo tale che ciascuna delle parti nelle quali è stata scomposta la prima sia equivalente a una delle parti in cui è stata scomposta la seconda.

Osserva che due figure equiscomponibili sono sempre anche equivalenti.

Se due figure non sono equivalenti, allora una delle due avrà area maggiore dell'altra, che avrà area minore. In questo caso, la figura con area maggiore si dice prevalente, mentre quella con area maggiore si dice suvvalente.

Per ulteriori approfondimenti sulle figure equiscomponibili vedi anche qua

L'equivalenza nei poligoni

Dopo aver parlato del concetto di equivalenza in generale, concentriamoci su quello che accade quando si prendono in considerazione i poligoni. Esistono alcuni importanti teoremi che garantiscono l'equivalenza di particolari coppie di poligoni.

Iniziamo con la definizione: un poligono è una superficie piana delimitata da una linea spezzata chiusa semplice. Esistono alcuni importanti teoremi riguardanti l'equivalenza tra particolari coppie di poligoni. Eccone alcuni:


Se due parallelogrammi hanno rispettivamente congruenti le basi e le altezze, allora sono equivalenti.

D'altra parte, il rettangolo è un particolare tipo di parallelogramma, per cui vale anche che: se un parallelogramma ed un rettangolo hanno congruenti le basi e le relativi altezze, allora sono equivalenti.

Per quanto riguarda i triangoli, vale che:

Un triangolo è equivalente ad un parallelogramma che ha per base metà base e per altezza la stessa altezza del triangolo.

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo delle aree dei poligoni vedi anche qua

Problemi con figure equivalenti

Molto spesso, quando si affrontano problemi di geometria piana, si trovano richieste relative al calcolo delle aree oppure questioni relative all'equivalenza tra due poligoni. In questo paragrafo ne vediamo qualche esempio.

Problema 1: Un quadrato ha il perimetro di 64 centimetri. Calcola l'area di un rettangolo equivalente ai 7/4 del quadrato.

Iniziamo col calcolare l'area del quadrato, che si ottiene elevando al quadrato la misura del lato. Noi conosciamo il perimetro del quadrato: dividendo tale valore per quattro otteniamo la misura del lato.
, per cui la misura del lato è pari a 16 cm.

Nota la misura del lato, calcoliamo l'area del quadrato: essa è pari a:


Per ottenere l'area del rettangolo, occorre calcolare i 7/4 del valore appena trovato. Si ha quindi:



Problema 2: Un rombo e un rettangolo sono equivalenti. La diagonale maggiore del rombo misura 24 cm, mentre quella minore è pari ai 3/4 di quella maggiore. Calcola il perimetro del rombo, sapendo che la sua base misura 36 cm.

Per risolvere questo problema, iniziamo con il calcolo dell'area del rombo. Prima, però, calcoliamo la lunghezza della sua diagonale minore, che sarà pari a:


Sappiamo che essa si ottiene mediante la formula:


Svolgendo i calcoli, si ha:


Il rettangolo è equivalente al rombo, pertanto le due figure hanno la stessa area. Del rettangolo è nota la base, pari a 36 cm. Mediante la formula inversa dell'area, possiamo calcolarne l'altezza:






A questo punto, è semplice calcolare il perimetro. Infatti, si ha:






Il perimetro del rettangolo è pari ad 84 centimetri ed il problema è completamente risolto.