PROPRIETÀ DEL COMPORRE E DELLO SCOMPORRE

Oggi parleremo di come si risolve un determinato problema con la proprietà delle proporzioni. Iniziamo con il dire che un problema è risolvibile con la proprietà del comporre o dello scomporre soltanto se: conosciamo la somma o la differenza tra due misure, e ne conosciamo il loro rapporto. Andiamo ad analizzare alcuni esempi di problemi.

PROPRIETÀ DEL COMPORRE

Questa proprietà è applicabile ad un problema soltanto quando conosciamo la somma ed il rapporto tra due misure.
Andiamo a ricordare cosa enuncia: La somma del primo termine e del secondo termine sta al primo, come la somma del terzo termine e del quarto termine sta al terzo e La somma del primo termine e del secondo termine sta al secondo termine, come la somma del terzo termine e del quarto termine sta al quarto.

Abbiamo il seguente problema:

In un triangolo, la somma della base e dell'altezza è

[math]12cm[/math]
e la base è
[math]\frac{3}{4}[/math]
dell'altezza. Calcola la misura della base e dell'altezza.

(Di solito viene enunciato di calcolare l'area, ma una volta che conosciamo le misure della base e dell'altezza, l'area sarà presto calcolata facendo:

[math]A=\frac{base*altezza}{2}[/math]
)

Andiamo a risolvere il nostro problema:

Impostiamo una proporzione e mettiamo in relazione la base e l'altezza con il loro rapporto. Dunque:

[math]b:h=3:4[/math]
essendo
[math]b+h=12cm[/math]

Quindi a questo punto, dobbiamo applicare la proprietà del comporre poiché conosciamo la somma tra la base e l'altezza. Dunque andiamo, seguendo i due enunciati, ad eseguirlo!

[math](b+h):b=(3+4):3\\
\\
12cm:b=7:3\\
\\
b=\ \frac{12cm*3}{7}\\
\\
b=\ 5,14cm\ ca.[/math]
[math](b+h):h=(3+4):4\\
\\
12cm:h=7:4\\
\\
h=\frac{12cm*4}{7}\\
\\
h=\ 6,86cm\ ca.[/math]

Per verificare che abbiamo svolto i calcoli correttamente, la somma della base e dell'altezza dovrebbero risultare essere di

[math]12cm[/math]
. Verifichiamo:
[math]12cm=\ b+h \to 5,14cm+6,86cm=\ 12cm[/math]

PROPRIETÀ DELLO SCOMPORRE

Questa proprietà è applicabile soltanto, nel momento in cui, conosciamo la differenza ed il rapporto tra due misure.
La seguente proprietà enuncia: La differenza tra il primo termine ed il secondo termine sta al primo, come la differenza tra il terzo termine ed il quarto termine sta al terzo e La differenza tra il primo termine ed il secondo termine sta al secondo, come la differenza tra il terzo termine ed il quarto termine sta al quarto.

Andiamo a svolgere il ciò, risolvendo il seguente problema:

In un triangolo, la differenza tra la base e l'altezza è

[math]24cm[/math]
e la base è
[math]\frac{3}{2}[/math]
dell'altezza. Calcola la misura della base e dell'altezza.

Allora, in questo caso è necessario utilizzare la proprietà dello scomporre dal momento in cui conosciamo la differenza tra la base e l'altezza ed il loro rapporto. Quindi andando a calcolare seguendo l'enunciato, avremo che:

[math]b:h=3:2[/math]
essendo
[math]b-h=24cm[/math]

Andando ad applicare la proprietà dello scomporre avremo:

[math](b-h):b=(3-2):3\\
\\
24cm:b=1:3\\
\\
b=\ \frac{24cm*3}{1}\\
\\
b=\ 72cm[/math]
[math](b-h):h=(3-2):2\\
\\
24cm:h=1:2\\
\\
h=\ \frac{24cm*2}{1}\\
\\
h=\ 48cm[/math]

Se abbiamo svolto correttamente i calcoli, la differenza tra la base e l'altezza dovrebbe essere pari a

[math]24cm[/math]
. Verifichiamo:
[math]24cm=\ b-h \to 72cm-48cm=24cm[/math]

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