Come calcolare il massimo comune divisore MCD e il minimo comune multiplo mcm

In quest'appunto troverai tutte le informazioni fondamentali per il calcolo e la definizione del minimo comune multiplo mcm e del massimo comune divisore MCD.

Definizione pratica e funzionale del mcm e del MCD

Vedo molto spesso che tanti studenti fanno fatica a trovare il MCD e/o il mcm.

Credo che il problema nasca proprio dal nome che gli è stato dato, forse pensando che la sinteticità o il suono che hanno queste denominazioni fossero più importanti del senso che dovrebbero trasmettere.

Dicendo massimo comun divisore l'attenzione viene attratta dalla prima parola, cioè "massimo", quindi ci aspetteremo un numero "grande". Leggendo minimo comune multiplo viceversa siamo propensi a trovare un numero "piccolo" perché la nostra attenzione si focalizza sulla prima parola, cioè "minimo".

Io credo che se li chiamassimo: divisore comune più grande e multiplo comune più piccolo faremmo un favore a tutti gli scolari e gli studenti di ogni ordine e grado.

Il MCD (divisore comune più grande) è un numero piccolo perché deve essere "contenuto" (come fattore) in tutti quelli che abbiamo e molto spesso è "1" anche se lo cerchiamo tra numeri molto grandi (esempio:

) e il mcm (multiplo comune più piccolo) è un numero grande perché deve "contenere" ognuno dei numeri dati e può essere molto più grande dei numeri considerati (es.:

).

A cura di Carlo Giannini

Come si calcolano il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore

Conoscere la strategia adatta al calcolo del minimo comune multiplo e del massimo comune divisore è importante perché:

• saper valutare il minimo comune multiplo tra più numeri permette di svolgere le operazioni tra frazioni e in particolare addizioni e sottrazioni
• saper valutare il massimo comune divisore, invece, consente di svolgere la scomposizione in fattori primi in modo più veloce e agevole

Il primo step per trovare il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore è effettuare la scomposizione in fattore primi. Scomporre in fattori primi un numero significa riscriverlo come il risultato di una moltiplicazione tra numeri primi.

Per fare ciò, bisogna dividere per il divisore più piccolo possibile il numero da scomporre di volta in volta, finché il quoziente non diventa un numero primo. Dopo aver fatto questo, si può riconoscere il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore tenendo conto che:

• il massimo comune divisore MCD si calcola considerando i fattori comuni a due numeri, una volta realizzata la scomposizione in fattori primi, presi con il minimo esponente
• il minimo comune multiplo mcm si calcola facendo il prodotto tra fattori comuni e non comuni tra due numeri al massimo esponente

Esempi sul calcolo del minimo comune multiplo e del massimo comune divisore

Calcola il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore tra i numeri

e

Svolgimento

Per calcolare il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore è necessario scomporre in numeri primi le coppie di numeri e valutare quali siano i fattori in comune e non, considerando anche gli esponenti con cui essi compaiono nella scomposizione.

Per quanto riguarda la prima coppia, cioè

iniziamo scomponendo prima il numero

in fattori primi e poi il numero

:

da cui possiamo dire che

.
La scomposizione del numero

è invece:

e quindi

Ricordiamo che il massimo comune divisore MCD si calcola considerando i fattori comuni a due numeri, una volta realizzata la scomposizione in fattori primi, presi con il minimo esponente e il minimo comune multiplo mcm si calcola facendo il prodotto tra fattori comuni e non comuni tra due numeri al massimo esponente. In questo caso:

e

Passiamo all'altro esercizio. la scomposizione in fattori primi del numero

è:

da cui

.

La scomposizione in fattori primi del numero

è invece:

da cui

.

Da questi risultati possiamo affermare che il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore corrispondono rispettivamente a:

e

Per ulteriori approfondimenti sul minimo comune multiplo mcm e sul massimo comune divisore MCD vedi anche qua