Primo principio della termodinamica: teoria ed esercizio svolto

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di Anthrax606
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Scopri il primo principio della termodinamica attraverso un appunto dettagliato che esplora la teoria e un esercizio pratico sui gas perfetti. Approfondisci le trasformazioni termodinamiche e il calcolo del lavoro in un sistema ideale.

Concetti Chiave

  • La termodinamica studia le trasformazioni energetiche nei sistemi, utilizzando variabili e funzioni di stato come calore e lavoro.
  • I sistemi termodinamici si classificano in aperti, chiusi, adiabatici e isolati, a seconda degli scambi di calore e massa con l'ambiente.
  • Il primo principio della termodinamica afferma che l'energia può solo essere trasformata, espresso dall'equazione dU=dQ-dW.
  • Durante un'espansione adiabatica di un gas ideale, il lavoro può essere calcolato tramite la relazione L=Cυ ∫ dT tra le temperature iniziale e finale.
  • Un gas ideale è composto da molecole puntiformi che si muovono casualmente e interagiscono elasticamente, senza volume proprio.

In quest'appunto troverai delle informazioni riguardanti la termodinamica e il primo principio della termodinamica. E' presente, inoltre, un esercizio svolto e commentato sul calcolo del lavoro sui gas perfetti (o gas ideali).

Primo principio della termodinamica: teoria ed esercizio svolto articolo

La termodinamica: cos'è e a cosa serve

La termodinamica è una branca della chimica e della fisica che si occupa delle trasformazioni all'interno di un sistema. Esse possono essere quantificate attraverso l'utilizzo di variabili di stato (come calore e lavoro) e funzioni di stato (come l'entalpia e l'energia interna).

Prima di descrivere le diverse tipologie di trasformazioni, è doveroso fornire delle informazioni sui sistemi utilizzabili. Si definisce sistema termodinamico una porzione di spazio delimitata da una superficie, chiamata superficie di controllo. Tutto ciò che risiede al di fuori di tale superficie prende il nome di ambiente esterno (o universo).
Esistono diversi tipi di sistemi, cioè:

  • il sistema aperto, come un normale recipiente privo di tappo. In questa tipologia di sistema vi è uno scambio di calore e di massa con l'ambiente
  • il sistema chiuso, per esempio un recipiente non termico dotato di tappo: in questo caso, vi è scambio di calore ma non di materia
  • il sistema adiabatico, in cui vi è scambio di materia ma non di calore
  • il sistema isolato, come un recipiente termico dotato di tappo: non vi è né scambio di calore né scambio di materia

Quando un sistema si "trasforma", passa da una condizione di equilibrio a un'altra. Tale condizione è esprimibile attraverso delle variabili: la temperatura, il volume, la pressione. Esistono anche diversi tipi di trasformazioni. Tra le principali ricordiamo:

  • le trasformazioni isobare: in questo caso, la pressione a monte della trasformazione corrisponde a quella a valle
  • le trasformazioni isocore, che avvengono senza cambiamento di volume
  • le trasformazioni isoterme, in cui la temperatura iniziale e finale corrispondono

I principi della termodinamica: gli enunciati

La termodinamica si basa su tre principi, chiamati i principi della termodinamica.
Il primo principio della termodinamica afferma che l'energia può solo trasformarsi. Da questo enunciato deriva l'equazione
[math]dU=dQ-dW[/math]
in cui, definito un volume infinitesimo, si esprime la variazione infinitesima di energia interna come la somma del calore scambiato e del lavoro scambiato. Scrivendo l'equazione in questa forma si considera positivo il lavoro effettuato dall'ambiente sul sistema (il lavoro di compressione).

Il secondo principio della termodinamica, invece, afferma che il calore fluisce in maniera spontanea (cioè senza necessità di interventi esterni) dai corpi più caldi ai corpi più freddi. Anche in questo caso, l'enunciato può essere tradotto nella formula

[math]\frac{dS}{dt}≥ 0[/math]
: in una trasformazione spontanea in un sistema isolato, l'entropia può essere costante o aumentare ma mai diminuire.

Il terzo principio della termodinamica, infine, afferma che l'entropia è nulla solo allo zero assoluto (zero Kelvin), ossia la temperatura più bassa raggiungibile.
Nel corso del prossimo paragrafo approfondiremo attraverso lo svolgimento di un esercizio solo il primo.

Esercizio svolto e commentato sul primo principio della termodinamica applicato ai gas ideali

Un grammo di aria a

[math]275°C[/math]
si espande adiabaticamente fino ad aumentare di
[math]5[/math]
volte il suo volume iniziale. Calcolare il lavoro compiuto nell'espansione assumendo che l'aria si comporti come un gas ideale (per l'aria
[math]γ=\frac{C_{p}}{C_{v}}=1,40[/math]
; costante dei gas per
[math]1g[/math]
di aria
[math]r=2,88 \cdot 10^{6}\ erg\ °C^{-1}[/math]
).

Le proprietà di un gas ideale sono le seguenti:

  • un gas ideale è composto da molecole puntiformi, identiche, prive di dimensioni e si muovono casualmente
  • le molecole urtano reciprocamente e contro le pareti del recipiente che contiene il gas in maniera elastica

Svolgimento dell'esercizio

Per un'espansione adiabatica, vale la relazione:
[math]T\cdot V^{\gamma-1}=costante\ =>\ T_{1}V_{1}^{\gamma-1}=T_{2}V_{2}^{\gamma-1}\ =>\ T_{2}=T_{1}(\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma-1}[/math]

A questo punto possiamo inserire i dati numerici, sappiamo che Primo principio della termodinamica: teoria ed esercizio svolto articolo
e quindi avremo:

[math]548(\frac{1}{5})^{0,40}=548 \cdot (0,20)^{0,40}=548\cdot 0,525 K=\ 288 K[/math]
.

Con l'espansione adiabatica fino a

[math]5[/math]
volte il suo volume, la temperatura scende da
[math]548 K \rightarrow 288 K[/math]
.

Ora per una trasformazione adiabatica sappiamo che

[math]\delta q=0[/math]
, pertanto il primo principio della termodinamica diventa:
[math]\delta q=0\ =>\ \delta l= \phi u=(\frac{\phi u}{\phi T})_{V}\phi T+(\frac{\phi u}{\phi V})_{T}\phi V= \rho \phi V[/math]
.

Ma per un gas perfetto, l'energia interna sappiamo dipende soltanto dalla temperatura, pertanto questo termine:

[math](\frac{\phi u}{\phi V})_{T}\phi V[/math]
è nullo. In conclusione noi possiamo scrivere che:

[math]=>\ \rho \phi V= (\frac{\phi u}{\phi T})_{V}\phi T=\ c_{υ}\phi T[/math]

dove

[math]c_{υ}[/math]
è il calore molare.

Per calcolare il lavoro, quindi, abbiamo bisogno di conoscere

[math]c_{υ}[/math]
. Quello che il testo ci fornisce è
[math]\gamma[/math]
ma ci fornisce anche
[math]r[/math]
e noi sappiamo che
[math]r[/math]
è noto e
[math]γ=\frac{C_{ρ}}{C_{υ}}[/math]
è noto. Pertanto noi possiamo lavorare analiticamente per ottenere
[math]C_{υ}[/math]
e precisamente scriviamo
[math]C_{\rho}-C_{υ}=r[/math]
.

Primo principio della termodinamica: teoria ed esercizio svolto articolo

Se dividiamo tutti i termini di questa equazione per

[math]C_{υ}[/math]
, abbiamo:
[math]C_{\rho}-C_{υ}=r\ =>\ \frac{C_{\rho}}{C_{υ}}-1=\frac{r}{C_{υ}}\ =>\ \gamma-1=\frac{r}{C_{υ}}=>\ C_{υ}=\frac{r}{\gamma-1}[/math]

Ora possiamo inserire i dati numerici che ci fornisce l'esercizio:

[math]C_{υ}=\frac{2,88 \cdot 10^{6}}{0,4}\ erg\ °C^{-1}=7,2 \cdot 10^{6}\ erg\ °C^{-1}[/math]
.

Questo è il calore molare a volume costante. Ora per il lavoro che l'esercizio ci chiede di calcolare cioè

[math]\rho[/math]
e
[math]υ[/math]
. Quindi avremo che:

[math]L=\rho \phi V=C_{υ} \int_{T_{1}}^{T_{2}} \phi T=\ 7,2+10^{6}(288-548)erg
=\ -1,87 \cdot 10^{9}\ erg=-187\ J[/math]

Per ulteriori approfondimenti sul primo principio della termodinamica vedi anche qui

Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Cos'è la termodinamica e quali sono i suoi principali ambiti di applicazione?

    2. La termodinamica è una branca della chimica e della fisica che studia le trasformazioni all'interno di un sistema, quantificabili tramite variabili di stato come calore e lavoro, e funzioni di stato come entalpia ed energia interna.

  2. Quali sono i diversi tipi di sistemi termodinamici?

    3. I sistemi termodinamici possono essere aperti (scambio di calore e massa), chiusi (scambio di calore ma non di materia), adiabatici (scambio di materia ma non di calore) e isolati (nessuno scambio di calore o materia).

  3. Qual è il primo principio della termodinamica e come si esprime matematicamente?

    4. Il primo principio della termodinamica afferma che l'energia può solo trasformarsi, espresso dall'equazione \(dU=dQ-dW\), dove la variazione di energia interna è la somma del calore e del lavoro scambiati.

  4. Come si calcola il lavoro compiuto durante un'espansione adiabatica di un gas ideale?

    5. Il lavoro durante un'espansione adiabatica si calcola utilizzando la relazione \(L=\rho \phi V=C_{υ} \int_{T_{1}}^{T_{2}} \phi T\), dove \(C_{υ}\) è il calore molare a volume costante e \(T_1\) e \(T_2\) sono le temperature iniziale e finale.

  5. Quali sono le proprietà di un gas ideale e come influenzano il calcolo del lavoro?

    6. Un gas ideale è composto da molecole puntiformi, identiche e prive di dimensioni, che si muovono casualmente e urtano in modo elastico. Queste proprietà semplificano i calcoli, poiché l'energia interna dipende solo dalla temperatura, rendendo nullo il termine relativo al volume nel calcolo del lavoro.

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