Secondo esercizio sul primo principio della termodinamica (2)

Appunto di Fisica su un problema di Fisica-Matematica su un blocchetto di vapor d'acqua che esegue una trasformazione reversibile.

Anthrax606
di Anthrax606
Genius
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Concetti Chiave

  • Il problema riguarda una trasformazione isoterma reversibile di una mole di vapor d'acqua da 1,05l a 9,80l a 500°C.
  • Nel caso del gas perfetto, il lavoro è calcolato usando l'equazione: \( L = RT_{0} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}} \), risultando in 14,3 * 10³ J.
  • Per il gas che segue l'equazione di Van der Waals, il lavoro è dato da: \( L = RT_{0} \ln \frac{V_{2}-b}{V_{1}-b} + \alpha \left(\frac{1}{V_{2}}-\frac{1}{V_{1}}\right) \), ottenendo 14,0 * 10³ J.
  • I valori di lavoro sono simili per entrambi i modelli a causa della temperatura elevata, dove i gas reali si comportano come gas perfetti.
  • Le costanti di Van der Waals utilizzate sono: \( \alpha = 5,46(l^{2} \cdot atm)/mole^{2} \) e \( b = 0,0305l/mole \).
SECONDO ESERCIZIO SUL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

Oggi parleremo del primo principio della termodinamica, ed in particolare ci soffermeremo a risolvere un problema riguardante un blocchetto di vapor d'acqua che esegue una trasformazione reversibile isoterma. Il testo del problema è il seguente:

Una mole di vapor d’acqua esegue una trasformazione reversibile isoterma alla temperatura di

[math]500°C[/math]
passando da un volume
[math]V_{1}=1,05l[/math]
a un volume
[math]V_{2}=9,80l[/math]
. Si calcoli il lavoro fatto dal sistema nelle seguenti approssimazioni:
a) il vapor d’acqua è considerato un gas perfetto
b) il gas soddisfa l’equazione di Van der Waals con i parametri
[math] α=5,46(l^{2}*atm)/mole^{2}; b=0,0305l/mole[/math]

In entrambi i casi il lavoro è dato da:

[math]L= \int_{V_{1}}^{V_{2}} ρφV[/math]

Dove

[math]ρ[/math]
è la pressione del gas, stiamo infatti considerando una trasformazione reversibile. Nel caso a, stiamo in una situazione di gas oerfetto quindi:

a)

[math]ρV=ηRT_{0} \to T_{0}=500+273=773k[/math]

Poiché consideriamo una mole di gas, allora

[math]η=1[/math]
, da cui ricaviamo
[math]ρ[/math]
:

[math]ρV=ηRT_{0}\ =>\ ρ=\frac{RT_{0}}{V}[/math]

Per cui, il lavoro fatto nel caso in cui consideriamo il gas come un gas perfetto sarà:

[math]L= \int_{V_{1}}^{V_{2}} RT_{0} \frac{φV}{V}=\ RT_{0} \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{φV}{V}=\ RT_{0}\ ln \frac{V_{2}}{V_{1}}[/math]

Sostituendo i valori per i volumi

[math]V_{1}[/math]
e
[math]V_{2}[/math]
per la temperatura
[math]T_{0}[/math]
date dall'esercizio, e il valore
[math]R[/math]
per il valore dei gas, otteniamo il valore di:

[math]=>\ RT_{0}\ ln \frac{V_{2}}{V_{1}}=\ 14,3*10^{3}J[/math]

Ora consideriamo la situazione b: in questo caso la considerazione da considerare è quella di Van der Waals:

b)

[math](ρ+\frac{α}{υ^{2}}(υ-b)=RT[/math]

Anche in questo caso il lavoro sarà dato da:

[math]L= \int_{V_{1}}^{V_{2}} ρφV[/math]

Da questa relazione (

[math](ρ+\frac{α}{υ^{2}}(υ-b)=RT[/math]
) otteniamo che:

[math](ρ+\frac{α}{υ^{2}}(υ-b)=RT\ =>\ ρ=\frac{RT_{0}}{V-b}-\frac{α}{V^{2}}[/math]

Per cui il nostro integrale, nel caso dell'equazione di Van der Waals sarà dato da:

[math]L= \int_{V_{1}}^{V_{2}} ρφV= \int_{V_{1}}^{V_{2}} RT_{0} \frac{φV}{V-b}+ \int - \frac{α\ φV}{V^{2}}=\\
\\
\\
=\ RT_{0}\ ln \frac{V_{2}-b}{V_{1}-b}+α(\frac{1}{V_{2}}-\frac{1}{V_{1}})[/math]

Anche in questo caso inserendo i valori dati dall'esercizio rispettivamente quelli del volume

[math]V_{1}[/math]
e
[math]V_{2}[/math]
, quelli della temperatura
[math]T_{0}[/math]
e
[math]α[/math]
e
[math]b[/math]
che sono le costanti nell'equazione di Van der Waals, otteniamo:

[math]RT_{0}\ ln \frac{V_{2}-b}{V_{1}-b}+α(\frac{1}{V_{2}}-\frac{1}{V_{1}})=\ 14,0*10^{3}J[/math]

E' interessante notare che questo valore (

[math]14,0*10^{3}J[/math]
) è simile a quello ottenuto nel caso del gas perfetto (
[math]14,3*10^{3}J[/math]
). La spiegazione è semplice: siamo in una situazione di temperatura molto elevata e pertanto sappiamo che quando la temperatura è maggiore della temperatura critica, i gas reali tendono ad avere un comportamento che è descrivibile dal modello cinetico del gas perfetto:

[math]T_{0}=773k \to T>T_{C}[/math]

Domande da interrogazione

  1. Qual è il lavoro fatto dal sistema quando il vapor d'acqua è considerato un gas perfetto?

    2. Il lavoro fatto dal sistema, considerando il vapor d'acqua come un gas perfetto, è calcolato utilizzando l'integrale [math]L= RT_{0}\ ln \frac{V_{2}}{V_{1}}[/math], che risulta in [math]14,3*10^{3}J[/math].

  2. Come si calcola il lavoro utilizzando l'equazione di Van der Waals?

    3. Utilizzando l'equazione di Van der Waals, il lavoro è calcolato con l'integrale [math]L= RT_{0}\ ln \frac{V_{2}-b}{V_{1}-b}+α(\frac{1}{V_{2}}-\frac{1}{V_{1}})[/math], risultando in [math]14,0*10^{3}J[/math].

  3. Perché i risultati dei due calcoli del lavoro sono simili?

    4. I risultati sono simili perché la temperatura è molto elevata, e quando [math]T > T_{C}[/math], i gas reali tendono a comportarsi come gas perfetti, rendendo i due modelli comparabili.

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