Secondo esercizio sul primo principio della termodinamica (2)

Anthrax606
di Anthrax606
3 min
Genius
Vota 5/5
Appunto verificato
Contenuto verificato e approvato dal  Team di Esperti di Skuola.net Informazioni appunto verificato Informazioni appunto verificato hover

Esplora il primo principio della termodinamica attraverso un esercizio pratico su un blocchetto di vapor d'acqua. Analizzeremo una trasformazione isoterma reversibile, calcolando il lavoro per un gas perfetto e per un gas reale secondo Van der Waals.

Concetti Chiave

  • Il primo principio della termodinamica viene applicato per calcolare il lavoro svolto da una mole di vapore d'acqua in una trasformazione isoterma a 500°C.
  • Nel caso di gas perfetto, il lavoro è calcolato usando l'integrale che porta al risultato di 14,3*10³ J.
  • Utilizzando l'equazione di Van der Waals, il lavoro risulta essere 14,0*10³ J, considerando le interazioni tra le molecole.
  • I risultati ottenuti nei due casi sono simili a causa dell'alta temperatura, dove i gas reali si comportano come gas perfetti.
  • La formulazione matematica del lavoro in entrambi i casi è derivata dall'integrazione della pressione e del volume durante la trasformazione reversibile.
SECONDO ESERCIZIO SUL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

Oggi parleremo del primo principio della termodinamica, ed in particolare ci soffermeremo a risolvere un problema riguardante un blocchetto di vapor d'acqua che esegue una trasformazione reversibile isoterma. Il testo del problema è il seguente:

Una mole di vapor d’acqua esegue una trasformazione reversibile isoterma alla temperatura di

[math]500°C[/math]
passando da un volume
[math]V_{1}=1,05l[/math]
a un volume
[math]V_{2}=9,80l[/math]
. Si calcoli il lavoro fatto dal sistema nelle seguenti approssimazioni:
a) il vapor d’acqua è considerato un gas perfetto
b) il gas soddisfa l’equazione di Van der Waals con i parametri
[math] α=5,46(l^{2}*atm)/mole^{2}; b=0,0305l/mole[/math]

In entrambi i casi il lavoro è dato da:

[math]L= \int_{V_{1}}^{V_{2}} ρφV[/math]

Dove

[math]ρ[/math]
è la pressione del gas, stiamo infatti considerando una trasformazione reversibile. Nel caso a, stiamo in una situazione di gas oerfetto quindi:

a)

[math]ρV=ηRT_{0} \to T_{0}=500+273=773k[/math]

Poiché consideriamo una mole di gas, allora

[math]η=1[/math]
, da cui ricaviamo
[math]ρ[/math]
:

[math]ρV=ηRT_{0}\ =>\ ρ=\frac{RT_{0}}{V}[/math]

Per cui, il lavoro fatto nel caso in cui consideriamo il gas come un gas perfetto sarà:

[math]L= \int_{V_{1}}^{V_{2}} RT_{0} \frac{φV}{V}=\ RT_{0} \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{φV}{V}=\ RT_{0}\ ln \frac{V_{2}}{V_{1}}[/math]

Sostituendo i valori per i volumi

[math]V_{1}[/math]
e
[math]V_{2}[/math]
per la temperatura
[math]T_{0}[/math]
date dall'esercizio, e il valore
[math]R[/math]
per il valore dei gas, otteniamo il valore di:

[math]=>\ RT_{0}\ ln \frac{V_{2}}{V_{1}}=\ 14,3*10^{3}J[/math]

Ora consideriamo la situazione b: in questo caso la considerazione da considerare è quella di Van der Waals:

b)

[math](ρ+\frac{α}{υ^{2}}(υ-b)=RT[/math]

Anche in questo caso il lavoro sarà dato da:

[math]L= \int_{V_{1}}^{V_{2}} ρφV[/math]

Da questa relazione (

[math](ρ+\frac{α}{υ^{2}}(υ-b)=RT[/math]
) otteniamo che:

[math](ρ+\frac{α}{υ^{2}}(υ-b)=RT\ =>\ ρ=\frac{RT_{0}}{V-b}-\frac{α}{V^{2}}[/math]

Per cui il nostro integrale, nel caso dell'equazione di Van der Waals sarà dato da:

[math]L= \int_{V_{1}}^{V_{2}} ρφV= \int_{V_{1}}^{V_{2}} RT_{0} \frac{φV}{V-b}+ \int - \frac{α\ φV}{V^{2}}=\\
\\
\\
=\ RT_{0}\ ln \frac{V_{2}-b}{V_{1}-b}+α(\frac{1}{V_{2}}-\frac{1}{V_{1}})[/math]

Anche in questo caso inserendo i valori dati dall'esercizio rispettivamente quelli del volume

[math]V_{1}[/math]
e
[math]V_{2}[/math]
, quelli della temperatura
[math]T_{0}[/math]
e
[math]α[/math]
e
[math]b[/math]
che sono le costanti nell'equazione di Van der Waals, otteniamo:

[math]RT_{0}\ ln \frac{V_{2}-b}{V_{1}-b}+α(\frac{1}{V_{2}}-\frac{1}{V_{1}})=\ 14,0*10^{3}J[/math]

E' interessante notare che questo valore (

[math]14,0*10^{3}J[/math]
) è simile a quello ottenuto nel caso del gas perfetto (
[math]14,3*10^{3}J[/math]
). La spiegazione è semplice: siamo in una situazione di temperatura molto elevata e pertanto sappiamo che quando la temperatura è maggiore della temperatura critica, i gas reali tendono ad avere un comportamento che è descrivibile dal modello cinetico del gas perfetto:

[math]T_{0}=773k \to T>T_{C}[/math]
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è il lavoro fatto da una mole di vapore d'acqua durante una trasformazione isoterma considerando il gas come perfetto?

    2. Il lavoro fatto dal sistema, considerando il vapore d'acqua come un gas perfetto, è calcolato come \( L = RT_{0} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}} \), risultando in \( 14,3 \times 10^{3} J \) per i volumi dati e la temperatura di \( 500°C \).

  2. Come si calcola il lavoro per un gas reale utilizzando l'equazione di Van der Waals?

    3. Per un gas reale, il lavoro è dato da \( L = RT_{0} \ln \frac{V_{2}-b}{V_{1}-b} + \alpha \left( \frac{1}{V_{2}} - \frac{1}{V_{1}} \right) \). Utilizzando i valori specificati, si ottiene un lavoro di \( 14,0 \times 10^{3} J \).

  3. Perché i risultati del lavoro per il gas perfetto e il gas reale sono simili in questo caso?

    4. I risultati sono simili perché, a temperature elevate come \( 773 K \), i gas reali tendono a comportarsi come gas perfetti, specialmente quando la temperatura supera la temperatura critica, come indicato nel testo.

Appunti correlati

Domande e risposte

Hai bisogno di aiuto?
Chiedi alla community
Vai al forum