SECONDO ESERCIZIO SUL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

Oggi parleremo del primo principio della termodinamica, ed in particolare ci soffermeremo a risolvere un problema riguardante un blocchetto di vapor d'acqua che esegue una trasformazione reversibile isoterma. Il testo del problema è il seguente:

Una mole di vapor d’acqua esegue una trasformazione reversibile isoterma alla temperatura di

[math]500°C[/math]
passando da un volume
[math]V_{1}=1,05l[/math]
a un volume
[math]V_{2}=9,80l[/math]
. Si calcoli il lavoro fatto dal sistema nelle seguenti approssimazioni:
a) il vapor d’acqua è considerato un gas perfetto
b) il gas soddisfa l’equazione di Van der Waals con i parametri
[math] α=5,46(l^{2}*atm)/mole^{2}; b=0,0305l/mole[/math]


In entrambi i casi il lavoro è dato da:


[math]L= \int_{V_{1}}^{V_{2}} ρφV[/math]


Dove

[math]ρ[/math]
è la pressione del gas, stiamo infatti considerando una trasformazione reversibile. Nel caso a, stiamo in una situazione di gas oerfetto quindi:


a)

[math]ρV=ηRT_{0} \to T_{0}=500+273=773k[/math]


Poiché consideriamo una mole di gas, allora

[math]η=1[/math]
, da cui ricaviamo
[math]ρ[/math]
:


[math]ρV=ηRT_{0}\ =>\ ρ=\frac{RT_{0}}{V}[/math]


Per cui, il lavoro fatto nel caso in cui consideriamo il gas come un gas perfetto sarà:


[math]L= \int_{V_{1}}^{V_{2}} RT_{0} \frac{φV}{V}=\ RT_{0} \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{φV}{V}=\ RT_{0}\ ln \frac{V_{2}}{V_{1}}[/math]


Sostituendo i valori per i volumi

[math]V_{1}[/math]
e
[math]V_{2}[/math]
per la temperatura
[math]T_{0}[/math]
date dall'esercizio, e il valore
[math]R[/math]
per il valore dei gas, otteniamo il valore di:


[math]=>\ RT_{0}\ ln \frac{V_{2}}{V_{1}}=\ 14,3*10^{3}J[/math]


Ora consideriamo la situazione b: in questo caso la considerazione da considerare è quella di Van der Waals:


b)

[math](ρ+\frac{α}{υ^{2}}(υ-b)=RT[/math]


Anche in questo caso il lavoro sarà dato da:


[math]L= \int_{V_{1}}^{V_{2}} ρφV[/math]


Da questa relazione (

[math](ρ+\frac{α}{υ^{2}}(υ-b)=RT[/math]
) otteniamo che:


[math](ρ+\frac{α}{υ^{2}}(υ-b)=RT\ =>\ ρ=\frac{RT_{0}}{V-b}-\frac{α}{V^{2}}[/math]


Per cui il nostro integrale, nel caso dell'equazione di Van der Waals sarà dato da:


[math]L= \int_{V_{1}}^{V_{2}} ρφV= \int_{V_{1}}^{V_{2}} RT_{0} \frac{φV}{V-b}+ \int - \frac{α\ φV}{V^{2}}=\\
\\
\\
=\ RT_{0}\ ln \frac{V_{2}-b}{V_{1}-b}+α(\frac{1}{V_{2}}-\frac{1}{V_{1}})[/math]


Anche in questo caso inserendo i valori dati dall'esercizio rispettivamente quelli del volume

[math]V_{1}[/math]
e
[math]V_{2}[/math]
, quelli della temperatura
[math]T_{0}[/math]
e
[math]α[/math]
e
[math]b[/math]
che sono le costanti nell'equazione di Van der Waals, otteniamo:


[math]RT_{0}\ ln \frac{V_{2}-b}{V_{1}-b}+α(\frac{1}{V_{2}}-\frac{1}{V_{1}})=\ 14,0*10^{3}J[/math]


E' interessante notare che questo valore (

[math]14,0*10^{3}J[/math]
) è simile a quello ottenuto nel caso del gas perfetto (
[math]14,3*10^{3}J[/math]
). La spiegazione è semplice: siamo in una situazione di temperatura molto elevata e pertanto sappiamo che quando la temperatura è maggiore della temperatura critica, i gas reali tendono ad avere un comportamento che è descrivibile dal modello cinetico del gas perfetto:


[math]T_{0}=773k \to T>T_{C}[/math]

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