Concetti Chiave
- La velocità del corpo è proporzionale alla radice quadrata dello spazio percorso, espressa come v=k√x.
- La relazione tra velocità e spazio porta a un'equazione differenziale facilmente risolvibile separando le variabili.
- L'integrazione dell'equazione differenziale fornisce la relazione tra spazio e tempo: x(t)=k²t²/4.
- La derivazione della funzione spazio-tempo porta alla velocità-tempo: v(t)=k²t/2.
- L'accelerazione costante, derivata della velocità, implica che il corpo si muove sotto l'effetto di una forza costante.
Un corpo si muove di moto rettilineo con velocità proporzionale alla radice quadrata dello spazio percorso.
Dimostrare che il corpo si muove sotto l'effetto di una forza costante. Scrivere poi le relazioni che legano prima lo spazio, poi la velocità , al tempo.L'ipotesi del problema ci dice che
[math]v=k \sqrt x[/math]
dove [math]k[/math]
è una costante di proporzionalità . Ma d'altra parte la velocità è la derivata prima dello spazio, dunque da quella relazione abbiamo l'equazione differenziale: [math]\frac{dx}{dt}=k \sqrt x[/math]
facilmente risolvibile con più di un metodo. Separando le variabili, ad esempio, otteniamo: [math]\frac{dx}{\sqrt x}=k \cdot dt[/math]
Integrando si ha: [math]2 \sqrt x=kt[/math]
ovvero [math]x(t)=\frac{k^2t^2}{4}[/math]
Derivando, otteniamo [math]v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{k^2t}{2}[/math]
e derivando ancora [math]a=\frac{dv}{dt}=\frac{k^2}{2}[/math]
. E' chiaro che l'accelerazione è costante, pertanto la forza cui il corpo è sottoposto dovrà ugualmente essere costante. FINE
Domande da interrogazione
- Come si dimostra che un corpo si muove sotto l'effetto di una forza costante quando la sua velocità è proporzionale alla radice quadrata dello spazio percorso?
Si dimostra risolvendo l'equazione differenziale [math]\frac{dx}{dt}=k \sqrt x[/math], che porta a un'accelerazione costante [math]a=\frac{k^2}{2}[/math], indicando che la forza è costante.
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