Centro di massa: definizione, formule ed esercizi svolti

Scopri cos'è il centro di massa, come si calcola e quali sono le formule principali. Due esempi pratici ti aiuteranno a capire meglio il concetto.

adminv15
di adminv15
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Concetti Chiave

  • Il centro di massa di un sistema di punti materiali è influenzato dalle forze esterne; se queste forze sono nulle, il centro di massa rimane fermo o si muove rettilineamente.
  • Nel sistema tridimensionale, le coordinate del centro di massa (x_G, y_G, z_G) si calcolano con formule che coinvolgono la massa e le coordinate di ogni punto.
  • Le formule per calcolare il centro di massa sono simili per ciascuna coordinata e dipendono dalla massa totale del sistema.
  • Nell'esempio con due punti materiali, le coordinate del centro di massa vengono calcolate utilizzando le masse e le posizioni specifiche di ciascun punto.
  • Un secondo esempio illustra come due persone che tirano una fune su ghiaccio dimostrano il concetto di centro di massa in un sistema con massa distribuita.
In questo appunto si parla di centro di massa, la cui definizione verrà discussa dettagliatamente in seguito.
Ogni sistema di punti dotati di massa ha un suo centro di massa, che è un punto che è soggetto a un moto se la somma delle forze esterne agenti su di esso è non nulla.
Se invece la somma delle forze esterne agenti su di esso è nulla, il centro di massa resta fermo (o si muove di moto rettilineo uniforme), in accordo con i primi due principi della dinamica.
Di seguito vediamo come è definito.

Definizione di centro di massa

Supponiamo di trovarci in un sistema di riferimento tridimensionale, in cui ogni punto è descritto da tre coordinate
[math] (x, y, z) [/math]
.
Dato un sistema di
[math] n [/math]
punti materiali aventi massa
[math] m_1, m_2, \dots, m_n [/math]
e coordinate
[math] (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), \dots, (x_n, y_n, z_n) [/math]
scriviamo le formule per calcolare le coordinate del centro di massa.
Ricordiamo infatti che il centro di massa, essendo un punto, ha le sue coordinate
[math] (x_G, y_G, z_G) [/math]
. Per comodità chiamiamo
[math] M = m_1 + m_2 + \dots + m_n [/math]
la massa totale del sistema. Allora:
[math] x_G = \frac{\sum_{i=1}^n m_i x_i }{M} [/math]
[math] y_G = \frac{\sum_{i=1}^n m_i y_i }{M} [/math]
[math] z_G = \frac{\sum_{i=1}^n m_i z_i }{M} [/math]
Osserviamo che non ci sono cambiamenti significativi tra una coordinata e l'altra, cioè le formule sono molto simili a prescindere dalla coordinata.

Esempio 1

Consideriamo un sistema di
[math] n = 2 [/math]
punti materiali aventi coordinate:
[math] P_1: (3 cm, 8 cm, 2 cm), P_2: (-2 cm, 10 cm, 1 cm) [/math]
e supponiamo che il punto
[math] P_1 [/math]
abbia massa
[math] m_1 = 1 kg [/math]
, mentre l'altro punto ha massa
[math] m_2 = 3 kg [/math]
. Determiniamo le coordinate del centro di massa del sistema.
Osserviamo innanzitutto che la massa totale del sistema vale
[math] M = (3+1) kg = 4 kg [/math]
.
Applichiamo le formule di sopra, osservando che:
[math] x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{M}, y_G = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{M}, z_G = \frac{m_1 z_1 + m_2 z_2}{M} [/math]
da cui si trova che:
[math] G = (-0.75 cm, 9.5 cm, 1.25 cm) [/math]

Esempio 2

Due persone in piedi sul ghiaccio (una superficie priva di attrito) stanno tenendo i capi opposti di una fune, separati da una distanza
[math]D[/math]
. Una persona è di massa
[math]M_1[/math]
e l'altra è di massa
[math]M_2[/math]
. Una persona comincia a tirare la fune, una mano sopra l'altra, trascinando l'altra persona più vicino.
Supponiamo che
[math] D = 30 m, M_1 = 70 kg, M_2 = \frac{2}{3} M_1 [/math]
.
Fissiamo un sistema di riferimento in cui il centro di massa
[math] x_G [/math]
si trova nell'origine.
Avremo allora che:
[math] 0 = x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{M} [/math]
ma dal momento che
[math]x_2-x_1 = D [/math]
allora vale che
[math] m_1x_1 + m_2 (x_1 + D) = 0 [/math]
. Da quest'ultima uguaglianza ricaviamo, tenendo conto che
[math] m_2 = \frac{2}{3} m_1 [/math]
, che:
[math] x_1 + \frac{2}{3} (x_1 + D) = 0 [/math]
cioè:
[math] \frac{5}{3} x_1 = -\frac{2}{3} D \rightarrow x_1 = -\frac{2D}{5} = -12 m [/math]
e quindi, per differenza,
[math] x_2 = 18 m [/math]
.
Osserviamo che, come è naturale aspettarsi, se
[math] M_1 = M_2 [/math]
, per simmetria le posizioni
[math] x_1 [/math]
,
[math]x_2[/math]
saranno uguali (in modulo).

Domande da interrogazione

  1. Che cos'è il centro di massa e come si comporta in presenza di forze esterne?

    2. Il centro di massa è un punto di un sistema di punti materiali che si muove se la somma delle forze esterne su di esso è non nulla; altrimenti, resta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme.

  2. Come si calcolano le coordinate del centro di massa in un sistema tridimensionale?

    3. Le coordinate del centro di massa si calcolano usando le formule: [math] x_G = \frac{\sum_{i=1}^n m_i x_i }{M} [/math], [math] y_G = \frac{\sum_{i=1}^n m_i y_i }{M} [/math], [math] z_G = \frac{\sum_{i=1}^n m_i z_i }{M} [/math], dove [math] M [/math] è la massa totale del sistema.

  3. Qual è l'esempio di calcolo del centro di massa per due punti materiali?

    4. Per due punti materiali con coordinate [math] P_1: (3 cm, 8 cm, 2 cm) [/math] e [math] P_2: (-2 cm, 10 cm, 1 cm) [/math] e masse [math] m_1 = 1 kg [/math] e [math] m_2 = 3 kg [/math], il centro di massa è [math] G = (-0.75 cm, 9.5 cm, 1.25 cm) [/math].

  4. Come si determina il centro di massa in un sistema con due persone su una superficie priva di attrito?

    5. In un sistema con due persone di masse [math] M_1 [/math] e [math] M_2 = \frac{2}{3} M_1 [/math] separate da una distanza [math] D = 30 m [/math], il centro di massa si trova all'origine, e le posizioni sono [math] x_1 = -12 m [/math] e [math] x_2 = 18 m [/math].

  5. Cosa succede se le masse delle due persone sono uguali?

    6. Se le masse [math] M_1 [/math] e [math] M_2 [/math] sono uguali, per simmetria, le posizioni [math] x_1 [/math] e [math] x_2 [/math] saranno uguali in modulo.

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