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Sistemi complessi di punti materiali e centro di massa

Nel mondo reale, la maggior parte dei corpi non è assimilabile a un punto; si tratta di sistemi complessi entro i quali agiscono numerose forze e il cui moto è diverso per ogni parte.
Tuttavia, ciascun corpo è dotato di un punto, detto centro di massa (o centro d’inerzia), che si muove come se l’intera massa del corpo stesso vi fosse concentrata e come se le forze esterne vi agissero direttamente.
NOTA: si definisce punto materiale un elemento particellare idealmente privo di estensione, ma dotato di massa e soggetto all’azione di eventuali forze esterne.

Centro di massa

Posto un sistema di riferimento, il centro di massa

[math]x_{cdm}[/math]
di un generico corpo dotato di due punti materiali di massa
[math]m_1[/math]
e
[math]m_2[/math]
, rispettivamente in posizione
[math]x_1[/math]
e
[math]x_2[/math]
, è dato dalla seguente equazione:


[math]x_{cdm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}[/math]

Infatti (ragionando rispetto a un’unica dimensione):

  • se il corpo considerato fosse la particella di massa
    [math]m_1[/math]
    o
    [math]m_2[/math]
    , risulterebbe
    [math]m_1 = 0[/math]
    o
    [math]m_2 = 0[/math]
    , e l’equazione del centro di massa restituirebbe la posizione
    [math]x_1[/math]
    o la posizione
    [math]x_2[/math]
    ;

  • se i punti materiali considerati avessero masse uguali (
    [math]m_1 = m_2[/math]
    ), l’equazione del centro di massa restituirebbe il punto medio della loro distanza;

  • se i punti materiali considerati avessero masse distinte, l’equazione del centro di massa restituirebbe un punto tra loro compreso.

Naturalmente, la definizione del centro di massa si estende a un numero indefinito
[math]n[/math]
di punti materiali.
Considerato un corpo di massa complessiva
[math]M[/math]
(cioè
[math]M = m_1 + m_2 + … + m_n[/math]
), risulta:


[math]x_{cdm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + … + m_n x_n}{m_1 + m_2 + … + m_n} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_ix_i[/math]

Inoltre, se tale corpo è analizzato nello spazio, il suo centro di massa è individuato dal vettore posizione

[math]\textbf{r}_{cdm} = x_{cdm} \textbf{i} + y_{cdm} \textbf{j} + z_{cdm} \textbf{k}[/math]
, per cui:


[math]\textbf{r}_{cdm} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i \textbf{r}_i =\\ (\frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i x_i) \textbf{i} + (\frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i y_i) \textbf{j} + (\frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i z_i) \textbf{k}[/math]

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