Concetti Chiave
- Una proporzione "classica" si esprime come a:b = c:d, con a e d come estremi e b e c come medi.
- Nella proporzionalità inversa, all'aumento di una quantità corrisponde una diminuzione della seconda quantità.
- La proporzionalità inversa è rappresentata dalla relazione a · b = c · d = K, dove K è la costante di proporzionalità.
- Un esempio pratico illustra che il tempo per costruire un muro di cinta è inversamente proporzionale al numero di muratori.
- Utilizzando la proporzionalità inversa, si determina che triplicando i muratori, il tempo necessario per la costruzione si riduce a un terzo.
Ricordiamo che una proporzione "classica" è un'espressione del tipo:
[math] a:b = c:d [/math]
[math] a, b, c, d [/math]
sono i termini della proporzione e [math]a, d[/math]
sono gli estremi, mentre [math] b, c [/math]
sono i medi.Quando parliamo di proporzionalità inversa invece, si ha che all'aumentare di una quantità, diminuisce la seconda, cosa che invece non succede con la proporzionalità diretta in cui, come si può intuire dall'espressione sopra, all'aumentare di una quantità aumenta anche la seconda.
Nella proporzionalità inversa vale che:
[math] a \cdot b = c \cdot d = K [/math]
[math] \frac{a}{c} = \frac{d}{b}[/math]
[math] K [/math]
è detta costante di proporzionalità.Vediamo un esempio.
Testo dell'esercizio
Il tempo impiegato per erigere un muro di cinta è inversamente proporzionale al numero dei lavoratori impiegati nella costruzione. Sapendo che un certo numero di muratori termina la costruzione in 9 giorni lavorativi, stabilisci il tempo necessario per erigere il numero se il numero di muratori viene triplicato.
Soluzione dell'esercizio
Dal testo viene palesato che si parla di proporzionalità inversa.Dunque possiamo scrivere che:
[math] m \cdot 9 g = 3m \cdot x [/math]
[math] x [/math]
è il tempo cercato e [math] m [/math]
il numero di muratori.Sappiamo quindi che:
[math] \frac{m}{3m} = \frac{x}{9g} [/math]
Questa è una proporzione "classica" in cui il termine ignoto
[math] x [/math]
è un medio, e si ricava che [math] x = 3g [/math]
ricordando che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Domande da interrogazione
- Qual è la differenza principale tra proporzionalità diretta e inversa?
- Come si esprime matematicamente la proporzionalità inversa?
- Qual è l'esempio pratico di proporzionalità inversa fornito nel testo?
Nella proporzionalità diretta, all'aumentare di una quantità aumenta anche l'altra, mentre nella proporzionalità inversa, all'aumentare di una quantità, la seconda diminuisce.
La proporzionalità inversa si esprime con l'equazione \( a \cdot b = c \cdot d = K \) e può anche essere scritta come \( \frac{a}{c} = \frac{d}{b} \), dove \( K \) è la costante di proporzionalità.
L'esempio riguarda il tempo necessario per erigere un muro di cinta, che è inversamente proporzionale al numero di lavoratori: se il numero di muratori triplica, il tempo necessario per completare il lavoro si riduce a un terzo, risultando in 3 giorni.
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