Concetti Chiave
- Una proporzione classica è espressa come a:b = c:d, con a, d come estremi e b, c come medi.
- La proporzionalità inversa implica che all'aumentare di una quantità, un'altra diminuisce, contrariamente alla proporzionalità diretta.
- Nella proporzionalità inversa, il prodotto delle quantità è costante: a · b = c · d = K.
- Un esempio pratico mostra che il tempo per costruire un muro è inversamente proporzionale al numero di muratori.
- Se il numero di muratori triplica, il tempo necessario per completare il lavoro si riduce a un terzo.
Ricordiamo che una proporzione "classica" è un'espressione del tipo:
[math] a:b = c:d [/math]
[math] a, b, c, d [/math]
sono i termini della proporzione e [math]a, d[/math]
sono gli estremi, mentre [math] b, c [/math]
sono i medi.Quando parliamo di proporzionalità inversa invece, si ha che all'aumentare di una quantità, diminuisce la seconda, cosa che invece non succede con la proporzionalità diretta in cui, come si può intuire dall'espressione sopra, all'aumentare di una quantità aumenta anche la seconda.
Nella proporzionalità inversa vale che:
[math] a \cdot b = c \cdot d = K [/math]
[math] \frac{a}{c} = \frac{d}{b}[/math]
[math] K [/math]
è detta costante di proporzionalità.Vediamo un esempio.
Testo dell'esercizio
Il tempo impiegato per erigere un muro di cinta è inversamente proporzionale al numero dei lavoratori impiegati nella costruzione. Sapendo che un certo numero di muratori termina la costruzione in 9 giorni lavorativi, stabilisci il tempo necessario per erigere il numero se il numero di muratori viene triplicato.
Soluzione dell'esercizio
Dal testo viene palesato che si parla di proporzionalità inversa.Dunque possiamo scrivere che:
[math] m \cdot 9 g = 3m \cdot x [/math]
[math] x [/math]
è il tempo cercato e [math] m [/math]
il numero di muratori.Sappiamo quindi che:
[math] \frac{m}{3m} = \frac{x}{9g} [/math]
Questa è una proporzione "classica" in cui il termine ignoto
[math] x [/math]
è un medio, e si ricava che [math] x = 3g [/math]
ricordando che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
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