Concetti Chiave
- La forza-peso del sistema è calcolata come la somma delle masse del carrello e del carico, moltiplicata per l'accelerazione di gravità, risultando in 3822 N (circa 3,8 × 103 N).
- Il momento della forza-peso rispetto all'inizio del braccio della gru è dato da 3822 N moltiplicato per 25 m, ottenendo un valore di 95550 N·m (circa 9,5 × 104 N·m).
- Per ridurre il momento della forza-peso a 72 × 103 N·m, il carrello deve essere spostato a una distanza di 18,94 m dall'inizio del braccio della gru.
Ricordiamo che la distinzione tra forza e momento di una forza è basata sul fatto che il momento di una forza dipende dal punto di applicazione della stessa.
Infatti il momento di una forza è dato dalla quantità:
[math] \vec{M} = \vec{b} \times \vec{F} [/math]
dove [math] \vec{b} [/math]
è il braccio della forza e congiunge il polo (rispetto al quale si calcola il momento) e il punto di applicazione della forza.Sarà utile in generale ricordare che
[math] |vec{M}| = |\vec{b}| |\vec{F}| \sin(\theta) [/math]
dove [math] \theta [/math]
è l'angolo tra i due vettori: ma vediamo ora il testo dell'esercizio.
Indice
Testo dell'esercizio
Una gru ha un braccio di[math]25 m[/math]
. All'estremità del braccio si trova un carrello mobile di massa pari a [math]50 kg[/math]
, a cui è agganciato un carico di [math]340 kg[/math]
.
- Qual è l'intensità della forza-peso del sistema formato dal carrello e dal carico?
- Qual è il valore del momento della forza-peso, rispetto all'inizio del braccio, nella situazione descritta?
- Il carrello è spostato lungo il braccio della gru finché il momento della forza-peso si riduce a [math]72 \cdot 10^3 N \cdot m[/math]: a che distanza dall'inizio del braccio si trova ora il carrello?
Svolgimento dell'esercizio (1)
La forza-peso si trova moltiplicando la massa per l'accelerazione di gravità:
[math] F_P = m \cdot g = (50 kg + 340 kg) \cdot 9,8 m/s^2 = 3822 N = 3,8 \cdot 10^3 N [/math]
Svolgimento dell'esercizio (2)
Il modulo del momento di una forza è dato dal prodotto della forza per il braccio:
[math] M = F \cdot b = 3822 N \cdot 25 m = 95550 N \cdot m = 9,5 \cdot 10^4 N \cdot m [/math]
Svolgimento dell'esercizio (3)
Dobbiamo trovare la lunghezza del nuovo braccio; utilizziamo quindi la formula del punto precedente e ricaviamo la formula inversa:
[math] M = F \cdot b \to b = M/F [/math]
[math] b = \frac{M}{F} = \frac{72 \cdot 10^3 N \cdot m}{3,8 \cdot 10^3 N} = 18,94 m [/math]
Domande da interrogazione
- Qual è l'intensità della forza-peso del sistema formato dal carrello e dal carico?
- Come si calcola il momento della forza-peso rispetto all'inizio del braccio della gru?
- A che distanza dall'inizio del braccio si trova il carrello quando il momento della forza-peso si riduce a [math] 72 \cdot 10^3 N \cdot m [/math]?
L'intensità della forza-peso è calcolata moltiplicando la massa totale per l'accelerazione di gravità, risultando in [math] 3,8 \cdot 10^3 N [/math].
Il momento della forza-peso si calcola moltiplicando la forza per il braccio, ottenendo [math] 9,5 \cdot 10^4 N \cdot m [/math].
La distanza è calcolata utilizzando la formula inversa del momento, risultando in [math] 18,94 m [/math].
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