Concetti Chiave
- Il sistema è in equilibrio sul piano inclinato, ma un lieve aumento dell'angolo farebbe scivolare il corpo.
- Il coefficiente di attrito statico è uguale alla tangente dell'angolo, espresso come k = tan(a).
- La forza d'attrito massima è quella che può contrastare la componente della forza peso parallela al piano.
- In equilibrio, la componente parallela della forza peso è uguale alla forza d'attrito massima: mg sin(a) = F_a.
- Semplificando l'equazione mg sin(a) = mg cos(a) * k, si arriva a k = sin(a)/cos(a) = tan(a).
Si ha un piano inclinato.
Sappiamo che il sistema è in equilibrio, ma che un minimo aumento dell'angolo
[math]\alpha[/math]
farebbe scivolare il corpo. Dimostrare che il coefficiente di attrito statico [math]k[/math]
è uguale alla tangente dell'angolo [math]\alpha[/math]
.
Premessa
Erroneamente di dice spesso che la forza d'attrito è uguale alla forza peso moltiplicata per il coefficiente d'attrito statico. In realtà quel valore rappresenta la massima forza d'attrito che vi può essere. Con un esempio: se la massima forza d'attrito è 100N, e il corpo viene spinto con 25N, resterà fermo, ma l'attrito che si oppone vale 25N, ovvero quanto la forza applicata (anche perché se l'attrito fosse sempre 100N, in questo caso avremo la paradossale situazione che il moto è contrario alla spinta, in quanto la risultante è nella direzione dell'attrito.)Quando la spinta supererà i 100N, allora il massimo attrito è superato e vi sarà moto. Questa è una situazione limite.
Calcolo del coefficiente di attrito
Sappiamo che un aumento piccolo dell'angolo farebbe scivolare il corpo, quindi ne deduciamo che nella nostra situazione la forza d'attrito riesce appena a contenere la forza peso parallela al piano.Scomponendo la forza peso nelle due componenti, otteniamo
[math]P_{//} = mg \sin(\alpha), P_{\perp} = mg \cos(\alpha)[/math]
.Le forze perpendicolari al piano si equilibrano per il terzo principio della dinamica:
[math]mg \cos(\alpha)=R[/math]
.Per quanto riguarda le forze parallele, applichiamo quanto detto nella premessa. La forza d'attrito in questo caso è da considerarsi massima, perché come già detto sopra, non potrebbe contenere un minimo aumento della forza peso. Imponendo l'equilibrio delle forza parallele al piano si ottiene:
[math] mg \sin (\alpha) = F_a [/math]
[math]F_a = mg \cos (\alpha) k [/math]
.Quindi:[math] mg \sin (\alpha) = mg \cos (\alpha) k \to \sin(\alpha) = \cos(\alpha) \cdot k [/math]
[math]k = \tan (\alpha) [/math]
Domande da interrogazione
- Qual è l'errore comune riguardo la forza d'attrito?
- Come si dimostra che il coefficiente di attrito statico è uguale alla tangente dell'angolo [math]\alpha[/math]?
- Cosa succede quando la spinta supera la massima forza d'attrito?
Spesso si crede erroneamente che la forza d'attrito sia sempre uguale alla forza peso moltiplicata per il coefficiente d'attrito statico, mentre in realtà rappresenta la massima forza d'attrito possibile.
Si dimostra scomponendo la forza peso in componenti parallele e perpendicolari al piano, e imponendo l'equilibrio delle forze parallele, ottenendo [math]k = \tan(\alpha)[/math].
Quando la spinta supera la massima forza d'attrito, il corpo inizia a muoversi, poiché l'attrito non è più sufficiente a mantenere l'equilibrio.
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