Esercizio con sbarretta isolante e cariche elettriche

Esercizio svolto sul calcolo della forza elettrica in un sistema di quattro cariche poste nei vertici di un rombo.

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Concetti Chiave

  • Le cariche sono disposte ai vertici di un rombo, con due triangoli equilateri che lo formano, condividendo un lato comune.
  • La lunghezza del lato dei triangoli equilateri è calcolata tramite la trigonometria, utilizzando l'altezza e il seno di 60°.
  • Nel punto B, una forza risultante è calcolata dalla regola del parallelogramma, diretta verso il basso, con vettori di uguale modulo.
  • La forza repulsiva al punto B, dovuta alla carica negativa in D, ha lo stesso modulo ma direzione opposta alla risultante delle forze attrattive.
  • La somma delle forze al punto B è nulla, e lo stesso ragionamento si applica al punto D, confermando l'equilibrio delle forze su entrambe le cariche negative.

In questo appunto affronteremo un esercizio dimostrativo in cui, in una configurazione abbastanza simmetrica, dimostreremo con dei semplici conti che la forza totale agente su alcune cariche è nulla. Vediamo il testo dell'esercizio.

Indice

  1. Testo dell'esercizio
  2. Svolgimento dell'esercizio

Testo dell'esercizio

Una sbarretta isolante di lunghezza  
[math]2a[/math]
 porta ai suoi estremi due cariche puntiformi e uguali  
[math]Q[/math]
 ed è posta nel vuoto. Come è  mostrato in figura, altre due cariche negative, di valore  
[math]-Q[/math]
, sono posizionate in modo da formare due triangoli equilateri con un lato in comune.
Dimostrare che la forza totale agente su ciascuna delle cariche negative è nulla.cariche_elettriche

Svolgimento dell'esercizio

Le quattro cariche in figura sono poste ai vertici di un rombo; è noto inoltre che i lati di un rombo soddisfano la proprietà:
[math] AB = BC = CD = DA [/math]

Inoltre, sappiamo che i due triangoli che formano questo rombo sono equilateri, quindi abbiamo che:

[math] \widehat{DAB} = \widehat{ABD} = \widehat{ADB} = \widehat{DBC} = \widehat{BDC} = \widehat{DCB} = 60^\circ [/math]

Per trovare quindi il lato dei triangoli, conoscendo l'altezza dei triangoli che è

[math]a[/math]
, possiamo sfruttare la trigonometria, per cui il lato è lato, cioè l'ipotenusa, dal rapporto fra l'altezza (il cateto) e il seno dell'angolo opposto:

[math]AB = BC = CD = DA = \frac{a}{\sin {60^\circ}} = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} [/math]
Tale ragionamento si poteva effettuare anche facendo semplici considerazioni geometriche, secondo il quale è noto che un triangolo equilatero diviso in due è un triangolo 30-60-90.
Nel punto  
[math]B[/math]
, in cui si trova una delle due cariche negative, agiscono tre forze: due attrattive, nei confronti delle cariche positive, e una repulsiva nei confronti della carica negativa.

Concentriamoci sulle prime due.

 

cariche_elettriche

 

La forza risultante fra esse è dato dalla regola del parallelogramma, ed è diretto verso il basso. Poiché gli angoli  

[math] \widehat{ABD} [/math]
  e  
[math]\widehat{DBC}[/math]
sono uguali e misurano  
[math]60^\circ[/math]
, possiamo affermare che il modulo della forza risultante è uguale a quello delle forze che la generano, essendo i tre vettori i lati di triangoli equilateri.
Quindi, calcoliamo il valore delle forze:

[math]F_A = F_C = F_{A,C} = k_0 \cdot \frac{Q \cdot Q}{r^2} = \frac{k_0 \cdot Q^2}{\left( \frac{2a}{\sqrt{3}} \right)^2} = \frac{3 k_0 \cdot Q^2}{4a^2}[/math]

Nel punto  

[math]B[/math]
 poi agisce anche la forza repulsiva dovuta alla carica situata nel punto  
[math]D[/math]
.

 

cariche_elettriche

 

Questa forza ha stessa direzione della forza risultante da  

[math]A[/math]
 e  
[math]C[/math]
, ma verso opposto. Calcoliamo la sua intensità con la legge di Coulomb:

[math] F_D = k_0 \cdot \frac{Q \cdot Q}{r^2} = \frac{k_0 \cdot Q^2}{\left( \frac{2a}{\sqrt{3}} \right)^2} = \frac{3 k_0 \cdot Q^2}{4 a^2} [/math]

Notiamo che questa forza ha lo stesso modulo della precedente.
Essendo opposta ad essa, possiamo dedurre che effettivamente, nel punto  

[math]B[/math]
 la risultante di tutte le forze che agiscono è uguale a zero.
Applicando lo stesso ragionamento, si può dedurre che anche nel punto  
[math]D[/math]
, dove è situata l'altra carica negativa, la risultante delle forze è nulla, come volevasi dimostrare.

Domande da interrogazione

  1. Qual è la configurazione geometrica delle cariche nel problema?

    2. Le quattro cariche sono posizionate ai vertici di un rombo, con due triangoli equilateri che formano il rombo.

  2. Come si calcola il lato dei triangoli equilateri?

    3. Il lato dei triangoli equilateri si calcola usando la trigonometria, dividendo l'altezza per il seno dell'angolo opposto di 60°, risultando in [math]frac(2a)(\sqrt3)[/math].

  3. Qual è la direzione della forza risultante tra le cariche positive e negative?

    4. La forza risultante tra le cariche positive e negative è diretta verso il basso, secondo la regola del parallelogramma.

  4. Perché la forza totale su ciascuna carica negativa è nulla?

    5. La forza totale è nulla perché la forza attrattiva risultante dalle cariche positive è uguale e opposta alla forza repulsiva della carica negativa, annullandosi a vicenda.

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