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Circuitazione del campo elettrico

Sia Q una carica puntiforme posta in A. Il vettore elettrico del campo elettrico prodotto dalla carica Q, posta nel vuoto, in A sarà

e, quindi, su una carica puntiforme q posta in P risulta applicata la forza

dove con abbiamo indicato il versore del vettore .

Vogliamo dimostrare che il lavoro compiuto dalle forze del campo, per spostare una carica non dipende dal particolare percorso, ma soltanto dalle posizioni iniziali e finali.

Il lavoro elementare relativo allo spostamento è e, potendo scomporre il vettore nella somma dei suoi vettori componenti (radiale) e (trasversale), si avrà essendo in quanto . Il lavoro compiuto da questa forza, quando la carica q si sposta, seguendo la traiettoria generica l, da un punto M ad un punto N, sarà

La relazione trovata dimostra che il lavoro non dipende dal percorso l seguito da q per passare da M ad N, ma dipende soltanto dai punti M, N (oltre che, s’intende, dalla posizione di Q).

In altre parole, il lavoro della forza calcolato lungo un’arbitraria linea l' , avente gli stessi estremi M, N della l, è uguale a quello calcolato lungo la l. Ovviamente se gli estremi coincidono e cioè se la linea l è chiusa, allora il lavoro è nullo. Ciò si esprime simbolicamente:

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