Seconda rivoluzione scientifica - Geometrie non euclidee

Rivoluzione industriale e crisi economica

Ultimi decenni dell’Ottocento e prima metà del Novecento.

Gli ultimi anni del 1800 sono caratterizzati dalla II Rivoluzione Industriale, determinata da profonde trasformazioni a livello politico , sociale ed economico.

Ricordiamo anche la “crisi di sovrapproduzione” 1873 fino al 1896, questa aveva sconvolto tutte le certezze del liberismo economico poiché da parte di tutti i governi europei ci fu una svolta protezionistica.

Nuova immagine della scienza

Parallelamente a ciò in ambito scientifico vennero messe in discussione le certezze del positivismo.

Crisi nella fiducia dell’onnipotenza della scienza.

Tutti questi cambiamenti che di determinano nelle scienze prende il nome di II Rivoluzione Scientifica.

La prima rivoluzione scientifica era stata trainata dall’astronomia con Copernico, Tico Brae, Newton, Galileo, Cartesio.-

L’esito della seconda rivoluzione scientifica sta nell’introdurre una uova immagine della scienza.

Fin ora la scienza era stata considerata come episteme: un sapere epistemico cioè certo universali, incontrovertibile, assoluto.

Fin dall’antichità l’episteme era stata contrapposta alla doxa (opinione): la scienza è il sapere certo, universale invece l’opinione appartiene ai comuni mortali ed è soprattutto soggettiva.

Fino a questo momento si contrapponevano queste due visioni.

Invece dalla seconda rivoluzione scientifica esce una nuova immagine di scienza in cui la visione antica viene rigettata, il sapere scientifico non sarà più costituito da verità assolute e incontrovertibili ma diventerà un sapere ipotetico, formato da congetture e ipotesi. Un sapere sempre modificabile, ci sono solo ipotesi e congetture.

L’esito della crisi del positivismo e la nuova immagine che nasce della scienza.

Cambiano da visione della scienza cambia anche il metodo.

Con la nuova immagine che si crea della scienza si incontrerà un pluralismo metodologico.

Per la presenza di tante teorie scientifiche a questa moltitudine corrispondo diversi metodi dove si fa particolarmente attenzione agli strumenti utilizzati per controllare la falsità o la veridicità di una teoria scientifica.

Non c’è più un metodo di ricerca unitario come era stato il metodo sperimentale per la prima rivoluzione scientifica ma si va a definire diversi criteri e controlli per valutare la scientificità delle ipotesi formulate, non si guarda la strada che ha portato ala formulazione della teoria ma ciò che è rilevante sono gli strumenti di controllo per verificare se le teorie sono giuste o sbagliate.

Il metodo non ricopre più un ruolo fondamentale, l’attenzione è spostata sui criteri di controllo.

Nella prima metà del Novecento assistiamo ad un grande sconvolgimento delle teorie scientifiche, tanto che hanno indotto gli studiosi a parlare di una vera e propria rivoluzione.

La filosofia ha vissuto anch’essa un periodo di grande riflessione su questi sconvolgimenti scientifici.

Questa riflessione nasce in Europa per poi espandersi negli Stati Uniti perché in concomitanza con i fatti della seconda guerra mondiale ed in particolare la persecuzione degli ebrei, alcuni scienziati si spostarono negli stati uniti e saranno protagonisti di questa riflessione sulla scienza.

Geometrie non euclidee

Per capire quando è sorto il problema delle geometrie non euclidee:

Euclide vissuto nel III sec a.C. scrive un testo fondamentale: Gli elementi di Euclide, un’opera di geometria dove dà alcune definizioni da cui seguono dieci postulati.

Definizione di punto, retta, superficie, piano, angolo, cerchio ecc.

Il punto: ciò che non ha parti.

Retta: insieme infinito di punti, lunghezza senza larghezza.

Euclide formula cinque postulati, i primi quattro non hanno mai creato problemi, il quinto invece si.

Il problema del quinto postulato è che non è così evidente come gli altri.

quinto postulato: se una retta in un piano si interseca con altre due e dalla stessa parte formano angoli inferiori a 180 gradi ciò significa che proseguendole indefinitivamente si incontreranno in un punto.

È chiamato anche Teorema delle parallele: per un punto esterno ad una retta per quel punto passa una sola parallela alla retta data.

- Postulato 1: dati due punti in un piano passa una e una sola retta.

- Postulato 2: ogni retta può essere prolungata indefinitamente.

- Postulato 3: Dato un punto P e un segmento r esiste sempre la circonferenza con centro in P e raggio r.

- Postulato 4: tutti gli angoli retti sono uguali.

- Postulato 5:

- Data una retta r ed un punto P esterno ad essa, esiste una sola retta s parallela ad r e contenente P.

- data una retta ne incontra un’altra e forma dalla stessa parte degli angoli a e b e la loro somma è inferiore a 180 vorrà dire che proseguendo queste rette si incontreranno in un punto.

Quando noi parliamo di postulati intendiamo qualcosa di vero, che non ha bisogno di dimostrazioni.

Il quinto postulato, però, ha sempre suscitato problemi perché non è così evidente.

Intorno al 1700, Saccheri (1777 - 1833) scrive un’opera in latino, Euclide emendato da ogni macchia, e usa l’argomentazione per assurdo.

Per dimostrare la validità di una tesi dimostro l’invalidità della tesi contraria, assumo come vera la tesi contraria rispetto a quello che si intende dimostrare proprio per evidenziare la sua invalidità andando a rafforzare l’altra tesi.

Nella sua opera Saccheri voleva dimostrare che il quinto postulato era valido.

Dimostrando per assurdo l’invalidità del quinto postulato apre la strada alle geometrie non euclidee perché in realtà aveva costruito un sistema coerente che dimostrava concretamente l’invalidità del quinto postulato.

Nel ragionamento per assurdo si deve arrivare alla contraddizione Saccheri non la trovò, anzi getto le basi per le geometrie non euclidee.

Geometrie non euclidee:

- Geometria ellittica: ammette che la somma degli angoli interni è maggiore di 180 gradi. O Reimanniana è la geometria del globo, della Terra.

- Geometria iperbolica: la somma degli angoli interni è minore di 180 gradi.

La geometria ellittica si ottiene depennando il quinto postulato e mettendo al suo posto il seguente: “Non esiste alcuna retta s passante per il punto P e parallela alla retta prefissata”.

La geometria iperbolica invece sostiene che "Esistono infinite rette passanti per quel punto P”.

Esempio della sfera:

Nella figura sono rappresentati i due meridiani perpendicolari all’asse dell’equatore che si incontrano perpendicolarmente al polo nord, la somma degli angoli interni di questo triangolo curvilineo è di 270 gradi e non di 180.

 In generale la somma degli angoli interni di triangoli di questo tipo, nelle geometrie ellittiche, è sempre maggiore di 180 gradi e non è costante per tutti i triangoli. Mentre nelle geometrie euclidee la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre di 180 gradi.

Nella geometria ellittica la somma dei triangoli interni è variabile e dipende dalla grandezza del triangolo, si dice anche che è una geometria a curvatura positiva.

Al posto del quinto postulato:

- esistono almeno due rette passanti per il punto P e parallele ad una retta prefissata.

Esempio della pseudo sfera: la somma degli angoli interni di questo triangolo e minore di 180 gradi e dipende dalla grandezza del triangolo.

NB: le geometrie ellittiche e iperboliche mantengono gli altri quattro postulati, eliminano e sostituiscono

solo l’ultimo.

Conseguenze delle geometrie alternative

Il fatto che possano esistere dei sistemi geometrici non contraddittori ma alternativi a quello che era stato sempre ritenuto come unica verità dimostra che i cosiddetti assiomi (verità su cui si fonda la geometria euclidea) non devono più considerarsi come delle verità assolute universalmente valide.

Tutto il pensiero scientifico e anche filosofico occidentale aveva ritenuto che la geometria euclidea fosse l’unica vera geometria.

Il fatto che ora vengano espressi postulati diversi, con esiti differenti e che danno origine a geometrie totalmente diverse ma tutte valide ed accettabili questo va a smontare l’idea che gli assiomi della geometria siano incontrovertibili e assoluti.

L’idea della verità assoluta viene sostituita dall’idea che: gli assiomi siano semplici ipotesi a cui se ne possono contrapporre altre.

La geometria, l’unica scienza possibile della spazio, diventa una serie di sistemi ipotetico-deduttivi.

Quello che viene messo in discussione è che non c’è la necessità assoluta di scegliere un sistema di postulati piuttosto che un altro, non è più vera la geometria di Euclide piuttosto che quella ellittica o iperbolica, io posso scegliere quella che è più utile a me, più conveniente.

Un’altra conseguenza della scoperta delle geometrie non euclidee è la crisi del criterio dell'evidenza intuitiva perché queste geometrie sono contro intuitive.

Il criterio dell’evidenza era stato posto da Cartesio come garanzia di validità degli enunciati di partenza di una teoria.

Queste nuove teorie geometriche essendo contro intuitive possiedono comunque una coerenza interna, sono perfettamente non contraddittorie.

 Quindi non è vero che una teoria per essere vera si deve fondare su principi evidenti. Ciò che conta non è tanto l’evidenza ma la non-contraddittorietà

Un'altra conseguenza è la distinzione tra la geometria matematica e quella fisica.

La geometria matematica ha un carattere formale, non fa riferimento a nessuna realtà fisica perché dimostra i suoi teoremi a partire da assiomi, non c’entra il rapporto che gli assiomi hanno con il mondo reale, sono dei modelli astratti.

La geometria fisica: quel ramo della fisica che cerca di descrivere come è fatta effettivamente il mondo, la realtà dello spazio.

Qual è tra le due la più veritiera?

Con la scoperta di questi sistemi geometrici alternativi c’è un’altra cosa:

Kant sosteneva che noi possiamo stabilire a priori indipendentemente dall’esperienza quale sia la geometria della realtà.

Altri autori come Gauss, Lobacevski, Reimann ritengono che per risolvere il problema di quale sia la geometria più vera non ha senso, è un problema che la ragione sola non può risolvere e la soluzione dipende dall’esperienza. Bisogna appellarsi all’osservazione empirica.

Quindi la geometria deve essere una scienza empirica, non a priori secondo Gauss è proprio l’esperienza che attesterebbe che la geometria dello spazio fisico è reale.

Diversa è la posizione di un altro grande matematico Henry Pointcarre francese che vive nella seconda metà dell’ottocento, rifiuta la teoria kantiana infatti ritiene che gli assiomi geometrici non possono essere giudizi sintetici a priori. Per Pointcarre Kant sbagliava perché se, per assurdo, fosse vera l’ipotesi kantiana cioè che le geometrie nascono a priori allora non si spiega come ad un certo punto si sono potute ipotizzare geometrie diverse.

Però poincarre non accetta nemmeno l’ipotesi empirista di Gauss ecc che consideravano gli assiomi della geometria delle verità a posteriori stabilite dall’esperienza.

Poincarre dice che gli enti di cui tratta la geometria sono oggetti ideali perché se la geometria fosse ricavata dall’esperienza non sarebbe una scienza esatta, invece essendo ideale è una scienza esatta.

Che cos’è allora la geometria? È una scienza sperimentale soggetta a continue revisioni dal momento che questa scienza è continuamente rivedibile.

Scelta della geometria

Da tutte queste considerazione perviene a questa conclusione: gli assiomi della geometria non sono a priori, non sono a posteriori ma sono delle convenzioni.

Li hanno stabiliti gli uomini ed è stata fatta una scelta, la scelta della geometria dipende dall’utilità, non è obbligata è libera, l’esperienza non ci può imporre di scegliere una geometria piuttosto che un’altra.

Noi scegliamo la geometria per descrivere la realtà del mondo ma è una scelta che non è obbligatoria, ogni fenomeno può essere descritto con uguale esattezza sia che io adoperi le geometria euclidea sia che ne utilizzi un’altra.

Quindi la scelta non è basata sul contenuto di verità e porsi questa domanda è sbagliato, non avremo mai una risposta.

Dire che è una scelta libera non significa che sia una scelta arbitraria, a caso, non devo scegliere in maniera irrazionale infatti io devo scegliere la geometria più conveniente, più veloce, più facile, questo me lo suggerisce la ragione.

La scelta tra una geometria e l’altra è dettata da un criterio che potremmo definire di comodità, praticità, semplicità pratica, deve facilitarmi il lavoro.

Per la Terra la più comoda è la geometria euclidea, piccole dimensioni.

Quando le dimensioni diventano enormi, quando ci riferiamo all’universo la geometria più comoda è quella ellittica, è il modello più adeguato per descrivere l’universo.

Problemi del meccanicismo

Problema: L’immagine del mondo fisico si sviluppa nell’800 all’interno del programma di ricerca meccanicistico(se c’è un effetto c’è una causa) che caratterizza la fisica classica. Tale programma consiste nel progetto metodologico di interpretare tutti i fenomeni fisici non solo quelli del moto, ma anche quelli acustici,ottici,termici,elettrici e magnetici in termini meccanici,cioè spiegarli in base alle leggi fondamentali della meccanica. In particolare in base al programma di ricerca meccanicistico tutti i fenomeni fisici dovrebbero essere spiegati come risultato di forze attrattive e repulsive che agiscono tra particelle materiali e la cui intensità dipende dalla meccanica(? Non si sente). Termine legato al meccanicismo è il determinismo,secondo cui un fenomeno in un sistema risulta predeterminato necessariamente dai fenomeni precedenti secondo un rapporto inevitabile di causa-effetto. Così che se noi conoscessimo(ipotesi) i fenomeni anteriori ogni evento naturale sarebbe prevedibile, di fatto questo noi non lo possiamo fare perché non saremmo umani,però l’ipostesi sta in piedi. All’inizio dell’800 il fisico francese Pierre Louis Rampal chiarisce questa concezione sostenendo che qualora fossero note la posizione,massa e velocità di ciascun corpuscolo dell’universo in qualsiasi istante nel tempo potrebbe essere previsto ogni evento futuro e riconosciuto ogni evento passato,sapremmo tutto.

Alla base del meccanicismo Newtoniano stanno inoltre i concetti di spazio e tempo assoluti secondo cui le distanze spaziali e gli intervalli temporali rimangono invariati, cioè uguali a se stessi, in qualsiasi circostanza e per qualunque osservatore.

Questo fino l’800, una delle prime difficoltà, incontrata già nel corso dell’800, è lo scandalo del 2 principio della termodinamica, secondo il meccanicismo se tutta la natura è un immenso sistema meccanico, allora vuol dire che ogni fenomeno naturale è in linea di principio reversibile, se è possibile passare dalla causa all’effetto deve essere possibile anche il contrario,cioè deve essere possibile un’operazione inversa con la quale venga ripristinata la situazione di partenza. Il secondo principio della termodinamica afferma invece che non è possibile riconvertire in lavoro tutto il calore da esso prodotto, mentre l’energia meccanica può trasformarsi integralmente in calore, il calore non può fare lo stesso. Tale principio ammette quindi la degradazione dell’energia o l’entropia, mentre il meccanicismo vorrebbe la sua perfetta reversibilità e conservazione. Altri risultati in contrasto con il programma meccanicistico emergono anche nell’ambito dei fenomeni elettromagneticiteoria ondulatoria della luce, la luce è un onda o un corpuscolo?? Questo è il problema. Questa teoria richiedeva dal punto di vista meccanico un mezzo di propagazione delle onde, come il suono, si pensava infatti che le onde luminose fossero delle vibrazioni analoghe alle onde sonore in mezzi materiali. I fisici ipotizzano che il mezzo di propagazione della luce sia l’etere, le cui proprietà restavano misteriose e indecifrabili, perché l’etere doveva avere delle caratteristiche tra loro contraddittorie, cioè doveva essere impalpabile, doveva penetrare in tutti i corpi e contemporaneamente rigidissimo per poter spiegare la velocità enorme delle vibrazioni luminose. L’etere tra l’altro era assunto anche come corpo in quiete assoluta rispetto al quale veniva riferito il moto terrestre. Se non che i tentativi di calcolare il moto della terra in confronto all’etere(il più famoso compiuto nel 1887,esperimento che fallì).

Teoria della relatività di Einstein

Ma la vera e propria rivoluzione nel campo della fisica agli inizi del 900 grazie a 2 nuove teorie:

- teoria della relatività di Albert Einstein

- teoria della meccanica quantistica di Mark Planck

Queste due teorie misero in crisi la concezione dello spazio-tempo assoluti grazie alla relatività e il determinismo per la teoria dei quanti.

La relatività: 1905 teoria della relatività ristretta divisa in 2 caposaldi. Il primo caposaldo può considerarsi l’estensione del principio della relatività galileiana( all’interno di un sistema rigido in moto rettilineo uniforme nessuna esperienza meccanica può rivelarci se tale sistema si trovi nello stato di quiete o di moto rettilineo uniforme), Einstein aggiunge che non può rivelarcelo neppure un esperienza elettromagnetica, come la propagazione della luce, tutte le leggi fisiche risultano le stesse per tutti i sistemi di coordinate in cui i moti relativi sono uniformi. Il secondo caposaldo riguarda la costante della velocità della luce, ripetute misure sperimentai avevano dimostrato che la velocità della luce c rimane sempre la stessa circa trecentomila km/s che sia in uno stato di quiete o di moto. In contrasto con la legge galileiana della composizione della velocità, secondo la quale si sommano velocità che hanno direzioni uguali e si sottraggono quelle con verso opposto, alla velocità della luce non si può aggiungere o togliere nulla. Da questi 2 capisaldi Einstein ricava due conseguenze paradossali e in particolare la relatività dello spazio e del tempo. Secondo Einstein lo spazio e il tempo risultano relativi al corpo che si sceglie come sistema di riferimento e alla velocità con la quale si muove il corpo. Le dimensioni del corpo in movimento con l’aumentare della velocità si accorciano e gli intervalli temporali rallentano. La teoria della relatività prevede che un regolo rigido in movimento si accorci se assume una velocità vicina a quella della luce e che se la raggiunge non ha più alcuna dimensione. Nelle stesse circostanze il ritmo di un orologio rallenta e alla velocità della luce si fermi del tutto. Quindi quando la velocità si avvicina a quella della luce rallenta ogni fenomeno. Paradosso dei gemelli: uno sta sulla terra mentre l’altro parte su un missile x lo spazio che possiede una velocità vicina a quella della luce e poi ritorni sulla terra. Quando i 2 gemelli si ritrovano il primo è più vecchio di quello che ha viaggiato sul missile. Infatti il tempo si è rallentato. Dalla teoria della relatività speciale si ricavano poi altre conseguenze: diventa relativo anche il concetto di simultaneità, secondo la fisica classica infatti 2 eventi potevano essere simultanei in senso assoluto, dato che il tempo era considerato come un flusso costante che scorre in maniera continua e regolare, per Einstein 2 eventi che un osservatore registra come simultanei sono registrati da un altro osservatore che si muove ad una velocità differente dal primo come 2 eventi successivi. Inoltre spazio e tempo non vengono più concepiti come elementi indipendenti l’uno dall’altro, appunto perché le dimensioni di un oggetto, la sua forma, lo spazio da esso occupato dipendono dalla sua velocità, c’ è un rapporto spazio-velocità. Spazio e tempo non sono più separati, sono inscindibili, sono un sistema unico a quattro dimensioni: le 3 dimensioni coordinate altezza lunghezza e larghezza e dalla quarta dimensione il tempo. Questa teoria è presentata per la prima volta sul piano matematico da hermann minkowski che utilizza le formule della relatività speciale o ristretta, e chiama il continuo spazio temporale cronotopo. La teoria di Einstein porta poi ad un’altra conseguenza, all’asserzione della convertibilità reciproca di massa e di energia, la materia in certe condizioni scompare e diventa energia, la vecchia distinzione della fisica classica dove la massa è dotata di peso e tangibile e l’energia invisibile e imponderabile è superata secondo Einstein E= mc quadro.

1916 Einstein pensa di allargare la sua teoria anche ai moti curvilinei e accelerati. Questa teoria mira ad unificare sotto uno stesso principio i moti rettilinei uniformi dipendenti dall’inerzie e quelli curvilinei dipendenti dalla gravità. Secondo questa teoria la materia incurverebbe lo spazio-tempo facendoli perdere il suo carattere euclideo, non più geometria piana ma curva. Rendendo lo spazio simile alla geometria di Riemann. A poco a poco lo spazio-tempo si incurva fino a chiudersi su se stesso, per la prima volta viene utilizzata la geometria non euclidea per interpretare la realtà fisica. Nello spazio-tempo cosmico un corpo in movimento segue una traiettoria curva, non rettilineo. Secondo questa teoria un proiettile di potenza infinita dopo un certo punto dovrebbe curvare e tornare nel punto iniziale dalla direzione opposta. Lo spazio-tempo cosmico sarebbe finito perché percorrendolo in una direzione si tornerebbe dalla direzione opposta. Sarebbe finito ma non limitato perché poi continua, non si ferma mai. Infatti l’universo essendo curvo, il proiettile lo percorrerebbe infinite volte. La teoria della relatività generale rende non più necessaria la forza di gravitazione, perché in base alla teoria di Einstein le orbite circolari nello spazio non sono determinate dalla forza di gravitazione ma dall’incurvarsi dello spazio tempo in presenza della materia. Es: fare girare un cavallo intorno ad un palo, si può spiegare in due diversi modi: il cavallo gira perché è legato al palo con una corda che gli impedisce di allontanarsi (metafora per dire la forza di gravitazione), o gira perché segue una traccia circolare e non può uscire(la traccia sarebbe lo spazio - tempo curvo).

Teoria della meccanica quantistica

Prima di Plance si pensava che la materia fosse discontinua, formata da atomi, e che l’energia fosse un flusso continuo. L’energia che la materia emette o assorbe veniva concepita come un onda continua. La materia sarebbe una quantità fisica composta da piccole porzioni di atomi non divisibili e l’energia una quantità divisibile a piacere perché non incontro un limite come l’atomo. Nel 1900 Planck afferma che l’energia si propaga non come onde continue ma sotto forma di pacchetti in modo discontinuo, secondo una sorta di pulsazione, e che quindi è anche essa composta da corpuscoli che chiama quanti. Nel caso della lucefotoni. I fisici si accorgono che talvolta la luce si comporta come fotoni e talvolta come un’onda, c’era la difficoltà di definire una teoria del reale unitaria. Niels Bhor formula il principio di complementarietà, secondo cui le due teorie, ondulatoria e corpuscolare, sono complementari, si completano a vicenda, bisogna ammetterli tutti e due gli aspetti. Lui dice che quando si esamina il comportamento di una particella ci dobbiamo servire di strumenti di misura e osservazione, a seconda dello strumento impiegato può emergere l’aspetto corpuscolare o quello ondulatorio. Ma ciò non implica una contraddizione, infatti quando si presenta l’aspetto corpuscolare non si presenta quello ondulatorio e viceversa. Quindi i due aspetti non possono essere osservati contemporaneamente. Un altro grande passo nella meccanica quantistica è il principio di indeterminazione di Heisenberg, cioè che non p possibile determinare contemporaneamente la quantità di moto e la posizione di una particella(subatomica). Secondo questo principio esistono coppie di proprietà che non sono determinabili simultaneamente.

Implicazioni filosofiche della meccanica quantistica

Le implicazioni filosofiche della teoria della meccanica quantistica sono sviluppate da una scuola di Copenaghen. Dal punto di vista filosofico la meccanica quantistica, il principio di indeterminazione mette in discussione la questione deterministica dei fenomeni (previsione infallibile degli eventi futuri). La visione deterministica dei fenomeni funziona per quanto riguarda la fisica macroscopica, mentre nella fisica microscopica (elettroni, protoni, particelle) no. Infatti nella meccanica quantistica non conoscendo le condizioni iniziali di un fenomeno microscopico, non si possono predire i fenomeni futuri, ma si possono fare solo delle previsioni probabilistiche. La scuola di Copenaghen ritiene che il principio di indeterminazione attesti un indeterminismo intrinseco alla realtà subatomica, il mondo micro fisico sarebbe in se stesso indeterminato e probabilistico. L’interpretazione di Copenaghen afferma così l’esistenza del caso, se non è determinato vuol dire che sono a caso. Però Plance e Einstein la pensano diversamente, loro dicono che non c’è il caso nella natura, ma siamo noi che non siamo ancora arrivati ad una teoria capace di spiegare. I mezzi non sono adatti alle particelleil difetto è nostro di conoscenza.