Chiedersi quale sia la vera geometria o meglio qual è il vero spazio non ha senso è come chiedersi quale sia la lingua migliore (tutte esprimono i fatti del reale).
La geometria di Euclide perfettamente rigorosa perché in tutte le sue conclusioni rimangono coerenti con i suoi presupposti ma in effetti anche le geometrie degli altri. I presupposti (punti di partenza) sono convenzioni, es. se io dico che questo è un libro, comunque una cosa relativa.
Per Kant non sono giudizi sintetici a priori perché sostituibili, non sono neanche fatti sperimentali perché si riferiscono a tutti i fatti, sono assoluto. Noi non possiamo dare una preferenza di validità a queste geometrie perché tutte costruiscono edifici immensi e perfettamente coerenti con il loro presupposti quindi il concetto di verità assoluta cade.

Teoremi o proposizioni(da dimostrare)

Per un punto esterno ad una retta si può condurre una sola retta parallela alla prima (dimostrato direttamente dal quinto postulato che può sostituire).

Geometria iperbolica (spazio curvilineo negativo) Lobatcevski
Per un punto esterno a una retta si possono condurre due e quindi infinite rette parallele alla prima. La somma dei tre angoli di un triangolo è inferiore a 180°. Il pi greco è minore di 3,14.
Geometria ellittica (spazio curvilineo positivo) Riemann
Per un punto sterno ad una retta non si può condurre retta parallela alla prima. La somma dei tre angoli di un triangolo è superiore a 180°. Il P greco è maggiore di 3,14.
Lobatcevski: Metodo nuovo perché parte da presupposti più concreti per legare meglio la geometria al mondo empirico perché l punto la retta nel mondo empirico non sono sperimentabili, come ad esempio corpi in moto per poi giungere ai concetti di base estratti.
Bernhardt Riemann: dimostrò che era possibile postulare un nuovo tipo di spazio, finito ma non limitato. Nel XIX secolo si dimostrò che gli assiomi di Euclide hanno solo una validità limitata.
Per esempio, il teorema di Euclide per il quale la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre uguale a due angoli retti non vale per il triangolo tracciato sulla superficie della terra. Estendendo queste nozioni alla curvatura dello spazio dimostrò che era possibile postulare un nuovo tipo di spazio finito ma non limitato.

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