Matematica Maturità: scostamenti standardizzati

Per affrontare al meglio la prova di matematica del 2017 è bene muoversi con anticipo. Cominciare ad esercitarsi già da ora, quindi, è un'ottima strategia per arrivare pronti all'esame di maturità del liceo scientifico.

Può essere utile, a tal proposito, rivedere i quesiti di matematica con il calcolo degli scostamenti standardizzati. Con l'aiuto del prof di matematica, Francesco Bologna, vedremo come risolvere questo problema sia con il metodo tradizionale, sia con l'aiuto di una delle calcolatrici scientifiche più diffuse, la Casio FX991EX PLUS.

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Calcolo degli scostamenti standardizzati

Le indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento dell'allievo del liceo hanno previsto che, al termine del percorso liceale, lo studente dovrà conoscere i concetti salienti relativi al calcolo delle probabilità e dell'analisi statistica.

In particolare tra gli obiettivi specifici di apprendimento viene dato risalto al paragrafo "Dati e previsioni'' nel quale viene esplicitato che l'allievo dovrà saper distinguere tra caratteri qualitativi, quantitativi discreti e quantitativi continui, operare con distribuzioni di frequenze e rappresentarle.

Dovrà, inoltre, aver assimilato le definizioni e le proprietà dei valori medi e delle misure di variabilità, saper ricavare semplici inferenze, nonchè l'uso strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo) per analizzare raccolte di dati e serie statistiche.

Nel secondo biennio e nell'ultimo anno, in ambiti via via più complessi, l'allievo dovrà acquisire i concetti relativi alle distribuzioni doppie condizionate e marginali, alla deviazione standard, dipendenza, correlazione e regressione, e di campione.

Studierà la probabilità condizionata e composta, la formula di Bayes e le sue applicazioni, nonchè gli elementi di base del calcolo combinatorio, concludendo con lo studio di alcune distribuzioni discrete e continue di probabilità (come la distribuzione binomiale, la distribuzione normale, la distribuzione di Poisson).

In questo paragrafo affrontiamo l'analisi della distribuzione normale

Esempio calcolo degli scostamenti standardizzati

Esercizio: Con riferimento a 6 punti vendita, si sono rilevati in un certo mese

[math]X[/math]

= numeri di operazioni di vendita effettuate (in migliaia di euro)

[math]Y[/math]

= ammontare delle vendite (in migliaia di euro)

Si determinino gli scostamenti standardizzati

foto di grafico scostamenti standardizzati

La distribuzione normale standardizzata è una distribuzione normale particolarmente utile nelle operazioni di stima statistica. Essa presenta media uguale a 0 e scarto tipo pari a 1. Una qualsiasi distribuzione normale può essere trasformata in una distribuzione normale standardizzata attraverso la formula:

[math]z=\frac{X-\bar{x}}{\sigma{}}[/math]

dove:

[math]X[/math]

è l'ascissa del punto considerato della distribuzione normale di partenza,

[math] \bar{x}[/math]

è la media della distribuzione normale di partenza,

[math]\sigma{}[/math]

è lo scarto tipo della distribuzione normale di partenza.

La standardizzazione ha lo scopo di rendere i dati direttamente confrontabili, caratteristica che i dati grezzi in se non possiedono se vengono mantenuti nella forma originale.

Calcoliamo la media aritmetica dei punteggi dei due test.

Tale media viene calcolata sommando tutti i valori a disposizione e dividendo il risultato per il numero totale dei dati.

[math]M_1=\frac{1}{n}\sum_1^nx_i[/math]

Come media aritmetica della variabile

[math]X[/math]

si avrà:

[math]M_1=\bar{x}=\frac{20+50+32+80+70+35}{6}=47,83[/math]

Come media aritmetica della variabile

[math]Y[/math]

si avrà:

[math]M_2=\bar{y}=\frac{40+12+75+14+12+10}{6}= 27,166[/math]

Per determinare lo scostamento quadratico medio è necessario sviluppare la relazione:

[math]{\sigma{}}_x=\sqrt{\sum_1^n((x_i}-\bar{x})^2))/n[/math]

Quindi si avrà:

[math]\sigma{}x=\sqrt[2]{\frac{{\left(20-47.83\right)}^2+{\left(50-47.83\right)}^2+{\left(32-47.83\right)}^2+{\left(80-47.83\right)}^2+{\left(70-47.83\right)}^2+{\left(35-47.83\right)}^2}{6}}=21,29[/math]

Allo stesso modo per la variabile

[math]Y[/math]

si avrà:

[math]\sigma{}y=23,73[/math]

Applicando la relazione

[math]z=\frac{X-\bar{x}}{\sigma{}}[/math]

Si avrà:

foto di grafico scostamenti standardizzati

In conclusione si potrà affermare, ad esempio, che Il punto vendita C si colloca:

[math]\sigma{}[/math]

[math](X)[/math]

2.al di sopra della media di 2,26 volte

[math]\sigma{}[/math]

[math](Y)[/math]

Vediamo come la calcolatrice FX991ES+ può rendere la procedura di calcolo molto semplice.

Passaggio #1

Attraverso al combinazione:

Collochiamoci nel menù STAT.

Successivamente selezioniamo la voce

Relative alle variabili singole.

Passaggio #2

Digitiamo i valori della variabile nel foglio di calcolo e usciamo con il tasto AC.

Passaggio #3

Tramite la combinazione:

Ci collocheremo nel menù di calcolo

Digitiamo 5 per effettuare la standardizzazione.

[math]x\Rightarrow{}t=\frac{X-\bar{x}}{\sigma{}}[/math]

Passaggio #4

La variabile normalizzata t è calcolata con l'espressione mostrata di seguito, usando il valore medio e il valore della deviazione standard della popolazione eventualmente ottenuto, precedentemente, dai dati introdotti sulla schermata editor STAT.