Teoria dei segnali - quesiti vari

Prova scritta di Teoria dei segnali del 27 luglio 2006

Tempo: 2 ore e 30 minuti. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1

Si consideri un esperimento aleatorio descritto dalla variabile aleatoria (v.a.) con funzione di distribuzione 2 1(y) = − ∈ − {0}, 1 ≤ ≤ ∞. F_Y, k₁, k₂, yR_Y 1 2k k y1 2

1. Stabilire i valori delle costanti k₁ e k₂ per i quali la funzione F_Y(y) è una valida cdf;

2. Calcolare la pdf della v.a. Y e stabilire i valori delle costanti k₁ e k₂ per i quali essa è una valida pdf;

3. In corrispondenza dei valori k₁ e k₂ valutati al punto 1) e 2), trovare la cdf della v.a. Z = 10(Y − 1)u(Y − 2) + 30rect(Y − 1.5).

Esercizio 2

Con riferimento allo schema di figura il segnale 2 = cos(t − 0.5) + sin (2 − 1) ∈ x(t) α t α R, j2π t è posto in ingresso al parallelo di due sistemi LTI con risposta impulsiva pari a h₁(t) = e^−2πt e h₂(t) = δ(t+1(t) = u(t).

1. Valutare i valori del parametro α per cui il segnale in ingresso x(t) è un segnale periodico;

2. Valutare le proprietà di causalità, istantaneità e stabilità dei sistemi h₁(t), h₂(t) e del sistema costituito dal parallelo di h₁(t) e h₂(t);

3. In corrispondenza di α = 1, si determini lo sviluppo in serie di Fourier dei segnali x(t) ed y(t).

L- - -(t)x(t) h y(t)1 6- (t)h2

Esercizio 3

La sequenza x[n] = R [n − 4] è posta in ingresso al sistema LTI con risposta impulsiva e^−4πn 4n n = u[n] − u[n − 5] (|a| 1). h[n] a a <

1. Trovare il valor medio, l’area, l’energia e la potenza della sequenza x[n].

2. Valutare l’espressione del segnale in uscita al sistema y[n] e stabilire se esso è un segnale di energia o di potenza.