Teoria dei segnali - Quesiti vari

Prova scritta di teoria dei segnali del 22.01.2007 (soluzione)

Esercizio 1 (10 punti)

(a)

La risposta in frequenza del sistema complessivo si ottiene facilmente utilizzando le formule per i sistemi in parallelo ed in serie:

−H(f) = [1 H₁(f)]H₂(f)

H(f) = 1   f₁ ≤ |f| ≤ f₂

Il grafico è quello di una funzione H(f) per filtro passabanda.

(b)

Dal grafico osservo che una possibile espressione analitica per H(f), utile per antitrasformare, è la seguente:

H(f) = rect (f − f₀)/W + rect (f + f₀)/W

Con f₀ = (f₁ + f₂)/2 e W = f₂ − f₁. Antitrasformando trovo:

h(t) = W sinc(Wt)e^j2πf₀t + W sinc(Wt)e^−j2πf₀t = 2W sinc(Wt) cos(2πf₀t)

Il grafico di h(t) è quello della funzione sinc(Wt) cos(2πf₀t), con inviluppo sinc(Wt), per cui basta disegnare quest’ultima funzione ed un coseno che oscilla tra i valori ±sinc(Wt).

(c)

Poiché si ha che X(f) ≡ Λ(f/f₀), H(f), Y(f) = X(f)H(f) ≡ 0 [vedi grafico di], da cui y(t) ≡ 0.

Esercizio 2 (10 punti)

(a)

|H(f₀)| = 1

y₁(t) = |H(f₀)| cos(2πf₀t + arg H(f₀)) = cos(2πf₀t − π/2) = sin(2πf₀t)

y(t) = x(t)y₁(t) = cos(2πf₀t) sin(2πf₀t) = sin(2π2f₀t)/2

y[n] = y(n/f_c) = sin 2π 2f₀n/f_c = sin 2π 2n/3

ν = 2f₀/f_c = 2/3 > 1/2.

(b)

Poiché ho aliasing e quindi posso ridurre la frequenza numerica all’interno dell’intervallo (−1/2, 1/2) sottraendo un numero intero arbitrario:

sin 2π 2n/3 = sin 2π (2/3 − 1)n = sin 2π (−1/3)n = −sin 2π n/3

Per cui trovo, moltiplicando la nuova frequenza numerica per f_c = 3f₀:

y_r(t) = sin(2πf_rt) = −sin(2πf₀t)/2

(c)

I segnali y_r(t) e x(t) sono ortogonali perché la loro potenza mutua vale:

P_yrx = ⟨y_r(t)x(t)⟩ = ⟨−sin(2πf₀t) cos(2πf₀t)/2⟩ = ⟨−sin(2π2f₀t)/4⟩ = 0