Teoria dei segnali - vari quesiti

Bio/info (DF-M) prova scritta di teoria dei segnali del 18.9.2006

Tempo: 2.5 ore. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1 (10 punti)

I due sistemi SLS in figura sono caratterizzati dalle seguenti risposte impulsive (con B > 0):

Lx(t) y(t) h₁(t) - B

h₁(t) = 2B sinc(2Bt)

h₂(t) = 1 / 4B sinc(t / 4B)

H(f) x(t) y(t)

(a) Calcolare la risposta armonica del sistema complessivo [ingresso e uscita] e rappresentarla graficamente in modulo e fase.

(b) Nell’ipotesi in cui B = 100 Hz, f₁ = 150 Hz e f₂ = 300 Hz, calcolare l’uscita y(t) corrispondente al segnale di ingresso x(t) = cos(2πf₁t) + cos(2πf₂t) + B sinc(Bt).

Esercizio 2 (10 punti)

x(t) x[n] camp. quant. h(t) z(t) x[n]

z(t) = 4 cos(2π5t) + sin(2π30t)

Con riferimento alla figura, [tempi in ms e ampiezze in Volt (V)], h(t) = δ(t) − B sinc(Bt), con B = 20 kHz, f_c = 40 kHz, ed il quantizzatore è uniforme e simmetrico con M = 2^b livelli e passo di quantizzazione Δ = 12 mV.

(a) Determinare l’espressione esplicita dei segnali x(t) e x[n].

(b) Utilizzando il segnale calcolato al punto (a), calcolare il valore in dB del rapporto segnale-rumore (SNR) di quantizzazione.

(c) Utilizzando il segnale calcolato al punto (a), determinare il numero di bit necessario minimo ad ottenere un valore del fattore di carico del quantizzatore maggiore o uguale a √(k / 12).

Esercizio 3 (10 punti)

Sia una variabile aleatoria X caratterizzata dalla seguente pdf:

f_X(x) = 1 / 2 rect(x) + k δ(x − 1) + k δ(x − 2).

(a) Determinare k in modo che f_X(x) sia una valida pdf e rappresentare graficamente f_X(x).

(b) Determinare e rappresentare graficamente la CDF di X, verificando che sia una valida CDF.

(c) Stabilire se X è una variabile aleatoria continua, discreta o mista.

(d) Calcolare le seguenti probabilità (esprimere tutti i risultati in forma frazionaria): P(1 < X ≤ 2), P(1 ≤ X ≤ 2), P(1 ≤ X < 2), P(1 < X < 2), P(X > 3/2), P(X = 2).