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Prova scritta di teoria dei segnali del 19 febbraio 2007

Tempo: 2 ore e 30 minuti. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1

Si consideri il sistema S1 definito dalla relazione ingresso uscita:

y(t) = g(x(t)) = x(t)rect(x(t)/2A).

  1. Stabilire le proprietà di linearità, tempo invarianza, stabilità, dispersività e causalità del sistema S1.
  2. Valutare l’espressione del segnale in uscita in corrispondenza del segnale in ingresso:

2πt
x(t) = A cos .
T

  1. Valutare l’espressione del segnale in uscita in corrispondenza del segnale in ingresso:

2πt
x(t) = 2A cos T

Cosa cambia rispetto al risultato ottenuto nel punto 2?

Esercizio 2

Si consideri la variabile aleatoria (v.a.) 2Y = X + X con X v.a. esponenziale di parametro λ caratterizzata da funzione di densità di probabilità:

fX(x) = λe−λx U(x).

  1. Valutare la distribuzione di probabilità della v.a. Y, la sua media e varianza.
  2. Valutare la media e varianza della v.a. Y nel caso in cui X ha una distribuzione di Poisson di parametro λ.

Esercizio 3

Si consideri la sequenza:

∞
1 √
X n
x[n] = (1 + j 3) R [n k8] .
6√ −n
( 2) k=−∞

  1. Calcolare l’area, il valor medio, la potenza e l’energia del segnale x[n];
  2. Valutare la trasformata di Fourier del segnale x[n];
  3. Ripetere i punti 1) e 2) nel caso di una sequenza pari a:

∞
1 √
X n
x[n] = (1 + j 3) R [n k8] .
6√ −( 2) k=−∞

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