Teoria dei segnali - Quesiti

BIO/INFO (DF-M) – Prova scritta di teoria dei segnali del 27.3.2006

Tempo: 2,5 ore. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1 (10 punti)

Con riferimento alla figura, il segnale in ingresso x(t) al sistema complessivo è x(t) = sin(2πf_y(t)) (con f > 0), e il sistema SLS ha risposta impulsiva h(t) = 1/(πt).

0 1h(t) f > 0), e il sistema SLS ha risposta impulsiva 0 1h(t) = . y(t) πt x(t).

(a) Determinare i coefficienti della serie di Fourier di y(t).

(b) Calcolare valor medio, energia e potenza di y(t).

2 sin(2πft) 0.

Esercizio 2 (10 punti)

x(t) x[n] - - - H(f) x[n] z(t) camp. quant.

6f_c

z(t) = cos(2π5t) + cos(2π10t) + cos(2π15t).

Con riferimento alla figura, [tempi in ms e ampiezze in Volt (V)], f_c = 20 kHz, e

H(f) = 1 − 2|f|/20 (frequenze in kHz) rect 20 40 x(t) x[n].

(a) Determinare l’espressione esplicita dei segnali x(t) e x[n].

(b) Supponendo che il quantizzatore sia uniforme e simmetrico con massimo valore di restituzione X_max = 5 V, determinare il numero di bit necessari ad ottenere un rapporto segnale-rumore di quantizzazione non inferiore a 70 dB.

Esercizio 3 (10 punti)

X, un paese versa in una grave crisi economica e il reddito mensile espresso in kiloEuro (kE), dei suoi abitanti è una variabile aleatoria esponenziale, con media E(X) = 0.5.

In prossimità delle elezioni politiche, gli schieramenti A e B confrontano le loro politiche fiscali: lo schieramento A propone una tassa Y_A sul reddito in modo che i redditi al di sotto di 1 kE non siano tassati, cioè Y_A = 0 per 0 ≤ X ≤ 1, mentre quelli al di sopra di tale soglia siano soggetti ad una tassa progressiva:

Y_A = 0.5X[1 − e^−(X−1)], per X > 1;

lo schieramento B propone invece di tassare tutti i redditi con la stessa aliquota del 20%, cioè di calcolare la tassa come Y_B = 0.2X.

(a) Calcolare la tassa media mensile secondo le proposte dei due schieramenti e stabilire quale delle due proposte è più conveniente per gli elettori.

(b) Stabilire (se esiste) un valore dell’aliquota fissa proposta dallo schieramento B che rende coincidenti i valori della tassa media mensile proposta dai due schieramenti.