Teoria dei segnali - quesiti

Bio/info (DF-M)

Prova scritta di teoria dei segnali dell’11.12.2006.

Tempo: 2.5 ore. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1 (10 punti)

Con riferimento allo schema in retroazione a lato, i sistemi S1 ed S2 sono entrambi SLS, aventi risposte impulsive:

x(t) → S1 → y(t)
+                    −
                  ↑
                  S2

h₁(t) = sinc(W₁t) e h₂(t) = sinc(W₂t), rispettivamente, con W₁ = 20 kHz e W₂ = 10 kHz.

(a) Calcolare la risposta in frequenza H(f) del sistema SLS complessivo, avente come ingresso y(t) e come uscita x(t), e rappresentarla graficamente.

(b) A partire dalla H(f) calcolata al punto precedente, determinare la risposta impulsiva h(t) del sistema SLS complessivo.

(c) Calcolare l’uscita y(t) corrispondente al segnale di ingresso x(t) = cos(2πf₀t), f₀ = 3 kHz.

Esercizio 2 (10 punti)

Con riferimento allo schema di figura, il campionamento è effettuato a frequenza f_c = 15 kHz (senza filtraggio antialiasing), il sistema realizza la trasformazione y[n] = 1 + x[n] + x²[n], e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale avente frequenza di taglio f_c/2 e guadagno in continua 1/f_c (interpolazione ideale).

x(t) → campion. → x[n] → sistema → y[n] → ricostr. → y_r(t)
                                 f_c

Nell’ipotesi che x(t) = 1 + cos(2πf₀t), con f₀ = 10 kHz, determinare il segnale ricostruito y_r(t).

Esercizio 3 (10 punti)

Sia una variabile aleatoria X caratterizzata dalla seguente pdf:

f_X(x) = k|x| rect(x / 2k).

(a) Determinare k in modo che f_X(x) sia una valida pdf e rappresentare graficamente f_X(x).

(b) Determinare e rappresentare graficamente la CDF di X, verificando che sia una valida CDF.

(c) Calcolare P(|X| < 1/2).

[Esprimere risultati intermedi e finali in forma frazionaria.]