Radici terze campo complessi

Radici terze campo complessi Radici terze campo complessi

Si risolva nel campo dei numeri complessi l'equazione (z+i)³ = ₁/^i-1.

Ponendo w = z+i, l'equazione può essere riscritta in tal modo: w³ = ₁/^i-1.

Forma trigonometrica

Scrivo in forma trigonometrica _i/^i-1, razionalizziamo il denominatore.

_i/^i-1 = -₁/¹ = -₁/² = ₁/² + ₁/²i.

Determiniamo modulo e argomento.

p = √₁/⁴ + ₁/⁴ = √₂/².

cos θ = ₁/^√2 sen θ = -₁/^√2 → θ = -π / 4.

Essendo ≥ 0, si ha θ = arctan (_y/^x) = -₁/¹ = arctan (-1) → θ = -π / 4.

Scriviamo ora il numero complesso in forma trigonometrica.

₁/^i-1 = √₂/² [cos (-π / 4) + i sen (-π / 4)].

Calcolo delle radici cubiche

Ora calcoliamo le radici cubiche di ₁/^i-1.

w_k = 3√_√2/² [cos (-π / 12) + i sen (-π / 12)] = ₁/^√2 [cos (π / 12) + i sen (-π / 12)] = -₁/^√2 _{√6 + √2}/⁴ + i_{√6 - √2}/⁴.