Radici equazione numeri complessi

Radici equazione numeri complessi radici equazione numeri complessi

Si risolva nel campo dei numeri complessi l'equazione (-1)²z⁵ = (1+i)³.

L'equazione può essere scritta nella forma z⁵ = (1+i)³ / (1-i)².

Semplifichiamo il numeratore e denominatore per il coniugato di (1-i)².

(1+i)³ (1+i)² = 4i - 4i = -4 -4i = 4(-1-i) = -1-i

(1-i)² (1+i)² = 4i; 4i; 4

Quindi risolvo z⁵ = -1-i, cioè trovo le radici quinte di (-1-i).

Determiniamo modulo e argomento

β=√ 1² + 1² = √2

cos θ = -1/√2 e sen θ = -1/√2

2θ: θ.β ≤ 0, se si ha θ = arctan(-1) - π, θ = -3π/4

Calcolo delle radici quinte

z₁= √(2/2) [cos (3/20 π) + i sen (-3/20 π)]

z₂= √(2/2) [cos (π/4) + i sen (π/4)]

z₃= √(2/2) [cos (13/20 π) + i sen (13/20 π)]

z₄= √(2/2) [cos (24/20 π) + i sen (24/20 π)]

z₅= √(2/2) [cos (29/20 π) + i sen (29/20 π)]

Quindi z₁, z₂, z₃, z₄, z₅ sono soluzioni dell'equazione data.