Equazione numeri complessi radici quinte

Esercizio sull'equazione nel campo dei numeri complessi

Si risolva la seguente equazione nel campo dei numeri complessi e se ne rappresentino le soluzioni sul piano di Gauss: z⁵ = _{z - zi}/_{√3 - i} | Im(z) - 1 = 0

Svolgimento

Per una delle leggi di annullamento del prodotto abbiamo le due equazioni:

z⁵ = _{z - zi}/_{√3 - i} = 0   (1)

e Im(z) - 1 = 0   (2)

Risolvendo dapprima la (1) e abbiamo che:

z⁵ = _{z - zi}/_{√3 - i}

Semplificazione del membro a destra

Semplifico il membro a destra:

_{z - zi}/_{√3 - i}

(√3_i)(√3 + i)

_{(z - zi)(√3 + i)}/_{(√3 - i)(√3 + i)}

_{(z - zi)(√3 + i)}/_{3 + 1}

_{z√3 + zi√3i + 2z - 2z√3ii}/₄ = (√3 - i - √3_i + 1) / 2 = (√3 - i) / 2

(√3 - 1) + (1 - √3)i

Quando otteniamo che z⁵ = ^{√3 + 1}/₂ + ^√5/₂i, cioè dobbiamo trovare la radice quinta, scritto in forma trigonometrica il numero complesso:

Determiniamo modulo e argomento

p = √_{a² + b²} = √(^{√3 + 1}/₂)² + (^{1 - √3}/₂)² √(^{3 + 2√3 + 1}/₄ + ^{1 - 2√3 + 3}/₄) = √(⁸/₄) = √^2√2/₂ = √2

θ = arctg(^b/_a) = arctan(^{1 - √3}/_{√3 + 1}) = arctan(^−√3/_{1 + √3}) = arctan(^{(−1 + √3)}/_{1 + √3}) = arctan(^{(1 - √3)2}/_{1 + 3}) = arctan(^{1 - 2√3 + 3}/₋₂) = arctan(^{4 - 2√3}/₋₂) = arctan(^{(√3 - 2)}/) = ^π/₁₂