Equazione nel campo dei numeri complessi radici quarte

Esercizio sull'equazione nel campo dei numeri complessi

Si risolva la seguente equazione nel campo dei numeri complessi e se ne rappresentino le soluzioni nel piano di Gauss.

(z² _1+i/^1+√3i)(z² - 1/4) = 0

Sono soluzioni dell'equazione data le soluzioni dell'equazione:

z⁴ - ¹⁺ⁱ/_1+√3i = 0 (1)

e quelle dell'equazione:

z² -1/2 + 1/4 = 0 (2)

Soluzioni della prima equazione

Dalla (1) abbiamo che:

z⁴ - ¹⁺ⁱ/_1+√3i

Le soluzioni sono le radici quarte complesse di ¹⁺ⁱ/_1+√3i.

Risolviamo più comodamente, moltiplicando e dividendo per il coniugato di (1+√3i), otteniamo:

¹⁺ⁱ/_1+√3i = ^{(1+i)(1+√3i)}/_{(1-√3i)(1+√3i)} = ^{(1+i)(1+√3i)}/₁₊₃ = ^{1+i√3-i-√3}/₄ = ^(-√3+1)+i/₄ = ^1-√3/₄ + ^√3+1/₄ i

Quindi risolviamo:

z⁴ - ^1-√3/₄ = ^√5+1/₄ i

Forma trigonometrica

Scrivo in forma trigonometrica: determiniamo modulo e argomento.

β = √(a² + b²) = √(^(1-√3)2/_4² + ^(√3+1)2/_4²) = √(^{1-2√3+3+1+2√3+3})/16 = √⁸/₁₆ = √¹/₂ = √¹/₂

Essendo a < 0 si ha:

θ = π - arctan (^|b|/_|a|) = π - arctan (^|√3+1|/_1-√3) = π - arctan (^√3+1|/_1-√3)

θ = π - arctan (^√3+1/_√3-1) = π - arctan (^{(√3+1)(√3+1)}/_{(√3-1)(√3+1)}) = π - arctan (^3+2√3+1/_3-1) = π - arctan (2+√3) = π - arctan (2+√3) = π - 5π/12 = 12π/12 - 5π/12 = 7π/12

Radici quarte

Le radici quarte sono rappresentate dalla formula:

z_k = ⁴√_√¹/2 (cos (^7π/₄ + 2kπ/4) + i sin (^7π/₄ + 2kπ/4))