Radici seste prodotto numeri complessi

Radici seste prodotto numeri complessi

Si risolva nel campo dei numeri complessi l'equazione

(z^6 1-i⁄_1+i) (z&conj; - z + i) = 0

Per una delle legge di annullamento del prodotto, la soluzione dell'equazione sarà l'unione delle soluzioni degli annullamenti dei singoli fattori, ovvero:

z^6 1-i⁄_1+i = 0  (1)

z&conj; - z + i = 0  (2)

Risolvo la (1)

Risolvo la (1) e abbiamo che:

z^6 1-i⁄_1+i  → z⁶ = -i

Abbiamo già visto come scriverlo in forma trigonometrica, ricordiamo che:

ρ = 1    Θ = -π⁄2

Si ha che le radici seste sono:

z₀ = √(1) [cos(-π⁄12) + i ⋅sen(-π⁄12)] = [cos(-π⁄12) + i ⋅sen(-π⁄12)]

z₁ = [cos(π⁄4) + i ⋅sen(π⁄4)]

z₂ = [cos(π⁄12) + i ⋅sen(π⁄12)]

z₃ = [cos(π⁄3) + i ⋅sen(π⁄3)]

z₄ = [cos(π⁄2) + i ⋅sen(π⁄2)]

z₅ = [cos(5π⁄12) + i ⋅sen(5π⁄12)]

Le soluzioni della (1) sono: z₀, z₁, z₂, z₃, z₄, z₅

Risolvo ora la (2)

Con x+iy:

z&conj; - z + i = 0

Ponendo z =x+iy ∈ℝ ⟺ z&conj; =x-iy, con la sostituzione si ottiene:

(x+iy)(x-iy) - 2 + i = 0

x² - iy + iy - y² - 2 + i = 0

x² + y² - 2 + i = 0

x² + y² = 2 - i

Separando parte reale e parte immaginaria, otteniamo il sistema:

{x² + y² = 20 = 0}

Il quale non ha soluzioni reali.

Ne consegue che la (2) non è mai verificata in quanto non si annulla mai per alcun numero complesso.

In conclusione che soluzioni dell'equazione data sono:

z₀, z₁, z₂, z₃, z₄, z₅.

Si risolva nel campo dei numeri complessi l'equazione

z³ = -2 (z + i)³

Dividiamo ambo i membri per (z + i)³ e otteniamo:

{(z³) / (z + i)³} = -2 (z + i)³

{(z / z + i)}³ = -2

Imponiamo z ≠ -i che in ogni caso non sarà soluzione dell'equazione.

A questo punto pongo w = z / z + i e risolvo l'equazione:

w³ = -2

Osserviamo che possiamo scrivere in forma trigonometrica -2:

-2 = 2 (cos π + i sen π)

Detto ciò l'equazione equivale alla seguente:

w³ = 2 (cos π + i sen π)

La quale, avendo la formula per il calcolo delle radici di un numero complesso, porta alle soluzioni seguenti:

ω_k = √2 {(cos(π + 2kπ) / 3) + i sen(π + 2kπ) / 3}, k = 0, 1, 2