Equazioni e radici numeri complessi

Equazioni e radici numeri complessi Equazioni e radici numeri complessi

θ₀ = π/16

θ₂ = 13/16 π

θ₃ = 25/16 π

Risoluzione dell'equazione

Si risolva nel campo dei numeri complessi l'equazione (z + 3)⁴ = i + 1.

Ponendo w = z + 3, l'equazione può essere riscritta nella forma: w⁴ = i + 1.

Rendiamo il denominatore

i + 1   -1 -i   =   (-1 -i)    =   -1 -2i    =   1+i   =   1 + i   =   1  1   1i + 1   -1 i    (i + 1)(-i+ 1)      1 -i + 1 i -2.

Determiniamo modulo e argomento

ρ = √1 = √2 = √2 -> ρ = √2/2.

cos θ = √2/2 e sen θ = √2/2 => θ = arctan(1/2/1/2) => θ = arctan(1) => θ = π/4.

Forma trigonometrica

Scriviamo il numero complesso in forma trigonometrica 1/(i + 1) = √2/2 [cos(π/4) + i sen(π/4)].

Radici quarte

Ora escludendo i relativi calcoli otteniamo le radici quarte:

w₁ = √2/2 [cos(π/4/4) + i sen(π/4/4)] = 1/√2 [cos(π/16) + i sen(π/16)].

w₂ = 1/√2 [cos(π/4 + 2π/4) + i sen(π/4 + 2π/4)] = 1/√2 [cos(9π/16) + i sen(9π/16)].

w₃ = 1/√2 [cos(π/4 + 3π - 1) + i sen(π/4 + 3π - 1)] = 1/√2 [cos(17π/16) + i sen(17π/16)].

w₄ = 1/√2 [cos(π/4 + 6π/4) + i sen(π/4 + 6π/4)] = 1/√2 [cos(25π/16) + i sen(25π/16)].

Soluzioni dell'equazione

Poiché z = w - 3.

Si hanno che le soluzioni dell'equazione di partenza sono: z₁ = w₁ - 3,   z₂ = w₂ - 3,   z₃ = w₃ - 3,   z₄ = w₄ - 3.