Limite fratto con radice e seno

Limite fratto con radice e seno

Limite fratto con radice e seno

Si calcoli, se esiste, il seguente limite

lim_x→0 (√(1+x²)−1) sin(1/x)

lim_x→0 sin(x²)+2x

In questo limite è presente un prodotto; il primo fattore è (√(1+x²)−1), mentre il secondo fattore è sin(1/x).

Primo fattore

Incominciamo considerando il primo fattore, ovvero

lim_x→0 (√(1+x²)−1)/sin(x²)+2x

Si tratta di una forma indeterminata del tipo 0/0 quindi moltiplico e divido per x² al numeratore, e moltiplico e divido per x al denominatore e ottengo:

lim_x→0 x²(√(1+x²)−1)/x² x·sin(x²)+2x

Semplifico x e allora:

lim_x→0 x(√(1+x²)−1)/x²

lim_x→0 x/sin(x²)+2x

Limite al numeratore

Ora consideriamo il limite al numeratore ed abbiamo che:

lim_x→0 x(√(1+x²)−1)/x² = lim_x→0 x·1 · lim_x→0 (√(1+x²)−1)/x²

Essendo (√(1+x²)−1)/x² = ((1+x²)^1/2−1)/x²

e ricordo che il limite notevole

lim_t→0 ((1+t)^1/2−1)/t = 1

abbiamo che il limite al numeratore diventa uguale a:

lim_x→0 x·1· (lim_t→0 ((1+x²)^1/2−1)/x²) = x=0·1/1=0

Limite al denominatore

Ora concentriamoci per un momento al denominatore.

Abbiamo che:

lim_x→0 sin(x²)+2x = lim_x→0 sin(x²)/x + 2

E quindi diventa

2+ lim_x→0 (sin(x²)/x)