Limite fratto con logaritmo coseno e seno

Esercizio sul limite fratto con logaritmo, coseno e seno

• Esercizio sul limite fratto con logaritmo, coseno e seno

Calcolare se esiste il limite

lim_x→0⁺ log ^{√(1+x3) - cos(x√x)}/_{sin√x - log²(1+√x)}

Soluzione

limx→0+ √(1+x3) - 1 + 1 - cos(x x1/2)/sin√x - (log2(1+√x)) = limx→0+ log x (1+x3)1/2 - 1/x3 + 1 - cos(x3/2)/(x3/2)2= sin√x/x x ( log2(1+√x)/x ) x8 = - limx→0+ log x (1+x3)1/2 - 1/x3 + 1 - cos(x3/2)/(x3/2)2= x3 ( (1+x)3/2 - 1/x3 - 1 - cos(x3/2)/(x3/2)2 )x2 ( sin√x/x1/2) x ( log2(1+√x)/x)= limx→0+ log x x x5/2/x5/2 - (1+x)3/2 - 1/x3 - 1 - cos(x3/2)/(x3/2)2 = = 1/2/1 - (-1)2 + limx→0+ log x x5/2 = 1: limx→0+ x5/2 log x + limx→0+ x5/2 log x= 0

Ricordando che lim_x→0⁺ x^a log x = 0 con b > 0 oppure lim_x→0⁺ x^5/2 log x [0, ∞]