Limite con seno logaritmo esponenziale arcotangente

Limite con seno, logaritmo, esponenziale, arcotangente

Calcolo del limite

Si calcoli, se esiste, il seguente limite: (_x→0lim) ⎡(sin(x)²+2x²) / (e^x2-1)⎤ arctan⎛(sin(1/x)⎞ / log⎛(1+x²sin x)⎞)

Il limite si presenta in forma indeterminata del tipo 0/0.

Bisogna pertanto ricondursi per quanto possibile a limiti notevoli per calcolare il limite che ci interessa.

Mettiamo in evidenza x² al numeratore della frazione: (_x→0lim) ⎡(x² / x²sin(x))⎤ ⎡(sin(x)² / x²) arctan(sin(1/x))⎤ / log⎛(1+x²sinx)⎞

Un limite notevole che potrebbe essere ricavato è quello in cui compare il logaritmo.

Difatti se di sotto all’espressione in cui ho il logaritmo avessi proprio x²sinx mi riconduco al limite notevole perciò (_x→0lim) log(1+x) / x = 1.

Quindi moltiplichiamo e dividiamo per x²sin(x) al denominatore: (_x→0lim) ⎡x²(sin(x)²) / x²sin(x)⎤ ⎡(log(1+x²sinx) / x²sin(x))⎤ x (^x→0lim) (e^x2−1) arctan⎛(sin(1/x))⎞

Utilizzando il limite notevole abbiamo che il limite diventa quindi: (_x→0lim) ⎡sin(x)² / x²sin(x)⎤ x (^x→0lim) (e^x2−1) arctan⎛(sin(1/x))⎞

E semplificando x² otteniamo: (_x→0lim) (sin(x)² / x²) x (_x→0lim) (e^x2−1) arctan⎛(sin(1/x))⎞

Adesso moltiplichiamo e dividiamo per x² il fattore (e^x2−1) così da ricondurci al limite notevole dell’esponenziale: (_x→0lim) e^x−1 / x = 1.

Quindi il limite diventa.1 ⎡sin(x)² / x²⎤ + 2 = x²sin(x) / x²sin(x) x arctan⎛(sin(1/x))⎞

Che può essere riscritto in tal modo. (_x→0lim) ⎡sin(x)² / x² ⎤ x (_x→0lim) x² / sin(x²) x (_x→0lim) (e^x2−1) / x² x arctan⎛(sin(1/x))⎞

Essendo il limite del prodotto uguale al prodotto dei limiti, esso diventa. (_x→0lim) ⎡(sin(x)²) / x² ⎤ ⎡(_x→0lim) ^x2 / sin(x)⎤ x (_x→0lim) e^x2−1 / x² x (_x→0lim) arctan⎛(sin(1/x))⎞