Calcolo limite a 0 fratto logaritmo e seno

Calcolo limite a 0 fratto, logaritmo e seno Calcolo limite a 0 fratto, logaritmo e seno

Si calcoli, se esiste, il seguente limite

limite lim_x→0 log(e^x + x) / sin²x + x³

Si tratta di una forma indeterminata del tipo 0/0. Incominciamo, riscrivendo il denominatore come

sin²x + x³ = (sin x)² + x³

lim_x→0 log(e^x + x) / (sin x)² + x³

Al numeratore, invece, possiamo scrivere l'argomento del logaritmo come

e^x = e^x - 1 + 1 + x = [(e^x - 1) + 1 + x]

E abbiamo che

lim_x→0 log[(e^x - 1) + 1 + x] / (sin x)² + x³

Consideriamo dapprima il numeratore, si ha

lim_x→0 log[(e^x - 1) + 1 + x]

Ricordando il limite notevole dell'esponente (lim_x→0 e^x - 1 / x = 1, moltiplico e divido per x, e ottengo

lim_x→0 log[(e^x - 1) / x * x + 1 + x] = 1 = lim_x→0 log[₁x + 1 + x] = lim_x→0 log[(1 + 2x)

Per quest'ultimo, usando il fatto che log[2x] / x = 1 (logaritmo naturale), moltiplico e divido per x, e si ha

lim_x→0 log[(1 + 2x) - 2x / 2x + 2x] = 1 = lim_x→0 2x