Limite che tende a zero, prodotto esponenziale logaritmo e coseno

Limite che tende a zero prodotto esponenziale, logaritmo e coseno

Limite che tende a zero prodotto esponenziale, logaritmo e coseno

Si calcoli, se esiste, il limite lim_x→0 2^x log(cos x)

Cominciamo sommando e sottraendo 1 all'argomento del logaritmo

lim_x→0 2^x log(cos x + 1 - 1)

E manipoliamo leggermente tale scrittura come segue.

lim_x→0 2^x log(1 + (cos x - 1))

Avendo sempre come obiettivo i limiti notevoli moltiplichiamo e dividiamo per (cos x - 1).

lim_x→0 2^x log(1 + (cos x - 1)) / (cos x - 1) · (cos x - 1)

E in maniera del tutto simile moltiplichiamo e dividiamo per x²

lim_x→0 2^x log(1 + (cos x - 1)) / (cos x - 1) · (cos x - 1) / x² · x²

Quindi il limite di partenza può essere riscritto come:

lim_x→0 2^x x² log(1 + (cos x - 1)) / (cos x - 1) / x² (lim_x→0 cos x - 1 / x²)

Conviene quindi studiare separatamente i limiti.

Cominciamo considerando il limite:

lim_x→0 log(1 + (cos x - 1)) / cos x - 1

Sostituendo y = cos x - 1, abbiamo che

lim_x→0 log(1 + y) / y = 1

Per il limite notevole del logaritmo avremo log(1 + y) / y → 1 per y → 0.

Infine il limite

lim_x→0 cos x - 1 / x²

Lo possiamo riscrivere, riconducendoci al limite notevole del coseno 1 - cos(x) / x, come:

lim_x→0 cos x - 1 / x² = (lim_x→0 1 - cos(x) / x²) · -1 / 2

Quindi abbiamo che il nostro limite è:

lim_x→0 2^x log(cos x) = -1 / 2 · lim_x→0 x² 2^x = 1 / 2