Il limite per x che tende a x0

La definizione di limite

Limite al tendere di x a x₀

Se per valori di x che si avvicinano a un certo x₀ i valori di una funzione crescono sempre più, diciamo che per x che tende a x₀ la funzione tende a +∞.

Definizione: Limite +∞ per x che tende a x₀

Sia f(x) una funzione non definita in x₀. Si dice che f(x) tende a +∞ per x che tende a x₀ e si scrive lim_x→x0 f(x) = +∞ quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo I di x₀ tale che risulti f(x) > M per ogni x appartenente a I e diverso da x₀. La funzione è definita in tutti i punti di I tranne che in x₀.

Nella definizione, quando diciamo «per ogni numero reale positivo M», pensiamo a valori di M che diventano sempre più grandi. Diremo allora che M è preso grande a piacere. Sinteticamente possiamo dire che lim_x→x0 f(x) = +∞ se: ∀M > 0 ∃I(x₀) | f(x) > M, ∀x ∈ I(x₀) − {x₀}.

Se lim_x→x0 f(x) = +∞, si dice anche che la funzione f diverge positivamente.

Esempi pratici

a. Fissiamo M ∈ ℝ⁺. Individuiamo un intorno I di x₀ tale che f(x) > M ∀x ∈ I − {x₀}.

b. Se prendiamo M più grande, I esiste ancora e risulta, in genere, più piccolo.

c. Scegliamo un valore di M ancora più grande. Se I è abbastanza piccolo, ossia se x è abbastanza vicino a x₀, allora f(x) supera M.

• ∀M > 0 …
• Per ogni M positivo …
• Per ogni ordinata fissata M presa grande a piacere …

• … ∃I(x₀) tale che ∀x ∈ I(x₀), x ≠ x₀ …
• … troviamo sempre un intorno di x₀ tale che per ogni x dell’intorno diverso da x₀ …
• … troviamo infiniti punti x vicini a x₀ per i quali si verifica che …

• … f(x) > M.
• … f(x) supera il valore M.
• … f(x) è maggiore di M: si avvicina a +∞.