Limite che tende a infinito fratto esponenziale radice quadrata

Limite che tende a infinito fratto, esponenziale, radice quadrata

Limite che tende a infinito fratto, esponenziale, radice quadrata

Si calcoli, se esiste, il seguente limite

Limite _x→+∞ (4x - 3 ⋅ 2^x) / (5 ⋅ 2^x - 3) (√2x - √x - 1)

Riscriviamo il limite come: _x→+∞ (4x - 3 ⋅ 2^x) / (5 ⋅ 2^x - 3) ⋅ lim_x→+∞ 1 / (√2x - √x - 1)

Studiamo singolarmente i limiti

lim_x→+∞ (4x - 3 ⋅ 2^x) / (5 ⋅ 2^x - 3) = lim_x→+∞ (2^x (3 + (4x / 2^x)) / 2^x (5 - 3 / 2^x))

Avendo raccolto al numeratore e al denominatore 2^x alla massima potenza; poiché per la gerarchia degli infiniti a^x, x^a, a^a.

Ora semplificando otteniamo: lim_x→+∞ (3 + (4x / 2^x)) / (5 - 3 / 2^x) = (3 / 5) lim_x→+∞ (5 / 5) = 3 / 5

Studiamo ora il secondo limite

lim_x→+∞ 1 / (√2x - √x - 1) = √(√2 - √{1/4} lim_x→+∞ Il limite si presenta nella forma indeterminata +∞ - ∞.

Procediamo moltiplicando e dividendo per la razionale della radice: -lim_x→+∞ 1 / (√2x - √x - 1) (√2x + √x - 1) = lim_x→+∞ (√2x + √x - 1) / 2x + -1 = lim_x→+∞ Quest’ultimo limite è nella forma ∞ / ∞ quindi operiamo nel modo seguente lim_x→+∞ √x (√(1 + 1/x) - 1) x ^{(1/x) )} = lim_x→+∞ √x / x ⋅ 1/(x + 1) = lim_x→+∞ √x (√x/(x+1)-lim_x→+∞ √(x² (2 + 1) / x (x + 1)) / √x= lim_x→+∞ (√(2 + 1)) - lim_x→+∞ / √x (x)= √2 + 1.0 = 0

Quindi unendo i risultati ottenuti, abbiamo che il limite sarà uguale al prodotto dei limiti, ovvero -ξ • 0 = 0

Il limite sarà uguale a zero

Si calcoli, se esiste, il seguente limite

lim x → ∞^{ex-3x2+x + sin x} / _x²-log(x³)

Più che hai limiti notevoli, penserai a confronti locali, cioè a determinare quali sono le funzioni che vanno a infinito prima delle altre. Nel numeratore, ad esempio, puoi ragionare così: gli esponenziali sono più "grandi" delle potenze di x, inoltre maggiore è la base dell'esponenziale, maggiore è la velocità con cui va ad infinito. Pertanto il numeratore si può sostituire con la sola funzione -3^x2. Per il denominatore, visto che le potenze sono più veloci dei logaritmi, puoi sostituire tutto con x². Il limite diventa pertanto lim x→∞^{-3x2 + sin x / _x2}

Ora, osserviamo che la frazione, sebbene si presenti ancora nella forma indeterminata, ha come limite -∞: infatti, seguendo i ragionamenti precedenti, l'esponenziale vince sulla potenza, e quindi il limite si comporta come il numeratore. Cosa ce ne facciamo della funzione seno? Sappiamo che essa non ha un limite per x che tende a infinito: tuttavia osserva che tale funzione è limitata, in quanto assume valori c ε [-1, 1]; pertanto il suo limite ha come risultato il valore -∞ + c, c ε [-1, 1] e dal momento che gli infiniti mangiano le costanti, dal teorema del confronto puoi affermare che il limite vale -∞

Si ha, utilizzando il teorema del confronto

^{ex-3x2+x + 1 ≤ ex-3x2+x + sin x ≤ ex-3x2 + 1} / _x²-log(x³)

g(x)=e^x-3x² / _x²-log(x³)

lim g(x) = lim x→∞^{-3x2(-1+ (e/3)x+ x/3x)} / _{x² (1-3logx/x²)} - lim x→∞^{3x2 / _x2 x lim-1+ (e/3)x+ x/3x} / _1-3logx/x² = +∞ •(-1) = -∞